Что вы узнаете
- Что такое вероятность.
- Как и зачем ее считать в разных бытовых ситуациях.
- Что такое зависимые и независимые события и как это влияет на расчеты.
- Чем вероятность отличается от частоты.
- Когда вероятности оценивают неправильно и как этого избежать.
- Как оценивать риски с точки зрения теории вероятностей.
Что такое вероятность и зачем ее считать
Люди часто неверно оценивают вероятности важных событий, недооценивают или переоценивают риски — и теряют деньги, время или спокойствие. Например:
- считают, что дождь сегодня точно не пойдет, — и не берут зонт;
- едут в аэропорт за два часа до вылета, а не за три;
- покупают страховку без покрытия несчастных случаев на улице.
В итоге можно ошибиться: промокнуть под дождем, опоздать на регистрацию, упасть с велосипеда и не получить выплату. Хотя в этих ситуациях можно было заранее прикинуть вероятности — с помощью математики.
Вероятность (P) — это когда мы оцениваем, наступит ли определенное событие. Она помогает принимать взвешенные решения — и избегать возможных рисков.
Вероятность записывают двумя способами: числом от 0 до 1 или в процентах.
Как записывают вероятности
| Дробь | Процент | Пример формулировки |
|---|---|---|
| 0,5 | 50% | Шанс угадать, какой стороной упадет монета |
| 0,2 | 20% | 1 из 5 случаев |
| 0,01 | 1% | 1 из 100 случаев |
Как записывают вероятности
| Шанс угадать, какой стороной упадет монета | |
| Дробь | 0,5 |
| Процент | 50% |
| 1 из 5 случаев | |
| Дробь | 0,2 |
| Процент | 20% |
| 1 из 100 случаев | |
| Дробь | 0,01 |
| Процент | 1% |
Мы уже разбирали проценты в третьем уроке, и они действительно нагляднее: когда мы говорим «30%», мы сразу представляем 30 из 100. Гораздо проще воспринимается фраза «вероятность дождя 30%», чем «0,3» или «3/10». Поэтому сначала мы будем записывать вероятности в процентах.
А вот как вероятность выглядит в виде шкалы — от 0% (точно не случится) до 100% (точно случится).
Проценты сразу дают представление о масштабе, например:
- 0% — вероятность, что лифт в пятиэтажке приедет на шестой этаж;
- 50% — шанс вытащить белый носок из ящика, где лежат только пара черных и пара белых носков;
- 100% — вероятность, что только что вскипевшая вода обожжет.
Ученые и программисты обычно работают с вероятностью в диапазоне 0—1, потому что так удобнее для расчетов.
Теперь вы знаете, что такое вероятность. Главное помнить: 99% не гарантируют, что событие точно случится, а 1% не значит, что событие точно не произойдет.
📖 В этом уроке больше теории, чем в остальных
В первой половине урока объясним, как считать вероятности в разных ситуациях и о каких подводных камнях в расчетах стоит знать.
Во второй части на наглядных примерах покажем, как считать вероятности и риски. А еще дадим потренироваться.
Как считать вероятность в разных бытовых ситуациях
Вероятность считают по-разному. В одних случаях можно просто поделить количество возможных исходов, в других — опереться на реальные данные, а иногда приходится учитывать дополнительные условия.
Сейчас разберем, как считать разные вероятности, а потом приведем примеры из реальной жизни.
Классическая вероятность — для идеальных случаев
Когда использовать: когда все исходы одинаково возможны.
Что есть что в формуле:
- P(A) — вероятность события A;
- m — число благоприятных исходов события А (тех, что нас устраивают);
- n — общее число возможных исходов.
Пример: шанс выпадения цифры 5 на кубике:
- удачный исход — 1 (пятерка);
- все исходы — 6 (цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6);
- вероятность = 1 / 6 ≈ 0,166 ≈ 16,7%.
Частотная вероятность — через частоту события
Когда использовать: когда мы много раз наблюдаем событие и знаем, как часто оно происходит. Такой подход часто используют в машинном обучении и анализе больших данных.
Что есть что в формуле:
- n(A) — число наблюдений, в которых событие A произошло;
- n — общее число наблюдений.
Пример: предположим, мы изучаем аварии в городе. В нем 100 000 машин. За период в аварию попало 50.
Вероятность аварии = 50 / 100 000 = 0,0005 = 0,05%.
Субъективная вероятность — на основе опыта
Когда использовать: когда нет точных данных, но есть экспертные оценки или собственный опыт.
Пример: врач говорит, что с вероятностью 70% это вирусная инфекция — на основе симптомов, но без анализов.
В повседневной жизни мы часто пользуемся этим подходом, и он действительно полезен. Но искажения восприятия могут мешать правильно оценивать вероятность. Например, тревожным людям часто кажется, что «все закончится плохо», потому что они концентрируются на негативном. Чтобы оценить субъективную вероятность корректно, важно опираться не только на ощущения, но и на факты.
Геометрическая вероятность — через площади и длины
Когда использовать: когда исходы можно представить как точки на линии, плоскости или в пространстве. Например, чтобы оценить, в какой зоне вероятнее окажется объект: попадет ли мяч в корзину, на каком секторе остановится шарик в рулетке или какие участки парковки заполняются быстрее.
Пример: если площадь документа меньше 10% площади стола, то вероятность, что капля попадет именно на него, тоже меньше 10%. В этом примере мы хотим показать принцип, как можно прикинуть вероятность. Поэтому саму формулу не используем.
Условная вероятность — если вероятность меняется из-за случившихся событий
Когда использовать: когда есть дополнительная информация, которая влияет на вероятность. Например, тест на болезнь дал положительный результат — и мы хотим понять, какова вероятность, что человек действительно болен, учитывая, что тест может быть ложноположительным.
Что есть что в формуле:
- P(A|B) — вероятность события A при условии, что произошло событие B;
- P(A и B) — вероятность того, что оба события произойдут вместе;
- P(B) — вероятность события B.
Это общая формула условной вероятности, когда нужно найти вероятность одного события при условии другого.
Два следствия из общей формулы:
Что есть что:
- P(В|А) — вероятность события В при условии, что произошло событие А;
- Ā — событие, противоположное событию А;
- P(B|Ā) — вероятность события В при условии, что произошло событие Ā.
Эти формулы используют, когда нужно найти вероятность того, что оба события произойдут.
Пример: представим ситуацию, когда заболевает один человек из 100. Есть тест, который правильно определяет болезнь в 95% случаев. Но в 5% случаев тест ошибается и говорит, что человек болен, хотя это не так. Если тест показал, что человек болен, какова реальная вероятность, что это правда?
Рассчитаем в три шага:
- Количество больных: из 10 000 человек больны 100 (1% от 10 000).
- Тест находит больных правильно: 95% из 100 → 95 человек.
- Считаем ложноположительные результаты: среди 9 905 здоровых 5% получат ошибочный результат. Это 495,25 человека, округлим до 495.
Получается, всего тест скажет «болен» 95 раз правильно и 495 ошибочно, в сумме 590 раз.
Реальная вероятность того, что положительный тест означает болезнь: 16%.
Такой же принцип работает и в повседневности — например, прогноз дождя меняет вероятность, что зонт пригодится.
Еще один практический вывод: даже при высокой точности расчетов люди часто уделяют слишком много внимания редким событиям — крупному землетрясению или выигрышу в лотерею — и не учитывают их реальную вероятность. Люди видят очень большой результат — например, джекпот в лотерее — и думают: «Выгодно! Надо купить билет». Или в случае землетрясения: «Какой кошмар, как страшно жить». Но они забывают, что шанс такого события совсем маленький.
Мы разобрали пять способов посчитать вероятность. В реальной жизни мы часто комбинируем эти методы и выбираем подходящий под конкретную задачу.
Как считать вероятность в разных ситуациях
| Метод | Когда применяем | Пример |
|---|---|---|
| Классический | Есть равновероятные исходы | Бросок кубика или монеты |
| Частотный | Есть статистика, событие происходит много раз | Спам в почте |
| Условный | Нужно учесть условия | Медицинский тест, тест на определение уровня алкоголя в крови, курьерская доставка |
| Геометрический | Задача про пространство | Попадание в мишень или в корзину |
| Субъективный | Данных мало, есть мнение эксперта | Оценка врачом вероятности выздоровления пациента |
Как считать вероятность в разных ситуациях
| Классический метод | |
| Когда применяем | Есть равновероятные исходы |
| Пример | Бросок кубика или монеты |
| Частотный метод | |
| Когда применяем | Есть статистика, событие происходит много раз |
| Пример | Спам в почте |
| Условный метод | |
| Когда применяем | Нужно учесть условия |
| Пример | Медицинский тест, тест на определение уровня алкоголя в крови, курьерская доставка |
| Геометрический метод | |
| Когда применяем | Задача про пространство |
| Пример | Попадание в мишень или в корзину |
| Субъективный метод | |
| Когда применяем | Данных мало, есть мнение эксперта |
| Пример | Оценка врачом вероятности выздоровления пациента |
Что такое зависимые и независимые события и как это влияет на расчеты
В предыдущем разделе мы разобрали условную вероятность — когда вероятность события меняется из-за дополнительной информации.
Но события не всегда влияют друг на друга. Иногда они происходят независимо — и это важно учитывать при расчетах. Разберем разницу.
👉 Независимые события — это когда одно событие не влияет на вероятность другого. Например, вы в один и тот же вечер ждете курьера и звонка от друга. Появление курьера никак не влияет на то, позвонит ли друг. Это независимые события.
Формально события A и B независимы, если P(A и B) = P(A) × P(B) — вероятность того, что они наступят вместе, равна произведению вероятностей каждого события.
👉 Зависимые события — когда одно событие меняет вероятность другого. Например, вы достаете конфеты из новогоднего набора. Если сначала вытащили с шоколадной начинкой, то вероятность вытащить еще одну такую же уменьшается — конфет стало меньше.
Формально события зависимы, если P(A и B) ≠ P(A) × P(B).
Или, что то же самое, P(B|A) ≠ P(B) — то есть вероятность B при условии A не равна обычной вероятности B.
Как понять на практике, зависимы ли события? Задайте себе три вопроса — мы собрали их в таблице, а ниже разберем каждый подробно.
Подведем итог для раздела — он небольшой, но важный:
- Если одно событие не влияет на вероятность другого, то они независимы. Например, А случится или нет независимо от случившегося B: P(A|B) = P(A). Обратный пример: событие B не зависит от наступившего А: P(B|A) = P(B).
- Если одно событие меняет вероятность другого, то их связывает условная вероятность. Если А зависит от B, то вероятность А при случившемся B: P(A|B) = P(A и B) / P(B).
- Важно различать зависимые и независимые события, иначе в подсчете вероятности можно ошибиться в большую или меньшую сторону.
Как считать вероятность нескольких независимых событий подряд
Разберем два сценария, когда нужно считать вероятность нескольких событий.
Вероятность двух независимых событий — это вероятность того, что они наступят вместе. В этом случае работает правило умножения:
То есть чтобы найти вероятность двух независимых событий, нужно перемножить их вероятности.
Например, вы слушаете радио в машине:
Событие A — «Светофор горит зеленым, когда вы подъезжаете». Пусть P(A) = 0,6 (60%).
Событие B — «По дороге включат одну из ваших любимых песен». Пусть P(B) = 0,2 (20%).
События независимы: светофор никак не связан с плейлистом радио.
Тогда по правилу умножения для независимых событий: P(A и B) = P(A) × P(B).
Подставляем числа: P(A и B) = 0,6 × 0,2 = 0,12.
Это значит, что с вероятностью 12% одновременно и светофор будет зеленым, и песня по радио будет вам по вкусу.
Вероятность, что событие произойдет хотя бы раз. Здесь работает принцип обратного события:
Например, вы пошли на рыбалку на три часа:
По статистике, за час рыбу удается поймать с вероятностью 10%. Значит, 90% — остаться без улова.
Вероятность не поймать рыбу за каждый час 0,9 (90%).
Часы независимы, поэтому: P (не поймать за три часа) 0,9 × 0,9 × 0,9 = 0,729 (≈ 73%).
Теперь считаем обратное: P (поймать хотя бы раз) = 1 – 0,729 = 0,271 (≈ 27%).
📌 Вывод: вероятность «хотя бы раз» проще считать через противоположное событие — «ни разу не произойдет».
Чем вероятность отличается от частоты события
Выше мы разобрали, когда вероятность считают через частоту события. Но бывает и наоборот — частоту путают с вероятностью. Это приводит к логическим ошибкам, потому что это все же разные понятия. Разберемся, в чем разница.
Представьте, что водитель три дня подряд попадал в случайную пробку и решил: «Завтра точно проеду спокойно — не может же пробка быть четыре дня подряд без причины».
В этом рассуждении две ошибки:
- Три случая — слишком мало, чтобы делать надежные выводы, частота пока не дает точной картины.
- Кажется, что после трех раз все должно измениться. Это типичная «ошибка игрока»: человек думает, что случайные события должны чередоваться. Но если событие полностью случайно, вероятность каждый раз остается прежней.
👉 Частота события — это то, что уже произошло.
👉 Вероятность — это оценка того, что может произойти в будущем.
Эти величины могут быть близки, но не равны, особенно при небольшом числе наблюдений. Например, если из 100 бросков монеты орел выпал 55 раз, «частота» орла — 55 / 100 = 0,55 (55%). А вероятность выпадения орла — 0,5 (50%).
Получается, частота показывает фактический результат, а вероятность — теоретическое ожидание. Поэтому частота подходит для анализа произошедшего, а вероятность — для прогнозов и расчетов.
Чем различаются частота события и вероятность
| Частота события | Вероятность | |
|---|---|---|
| Что это такое | Фактическое число случаев, когда событие произошло | Оценка того, как часто событие должно происходить в теории |
| Как считаем | Из наблюдений, данных | Из модели, предположений или расчетов |
| Зависит ли от числа наблюдений | Да: чем больше наблюдений, тем точнее оценка | Нет: вероятность не меняется от числа наблюдений |
| Что происходит при большом количестве наблюдений | Стремится к вероятности | Остается постоянной |
| Где используют | Для анализа того, что реально происходило | Для прогнозов, оценки рисков и принятия решений |
Чем различаются частота события и вероятность
| Что это такое | |
| Частота события | Фактическое число случаев, когда событие произошло |
| Вероятность | Оценка того, как часто событие должно происходить в теории |
| Как считаем | |
| Частота события | Из наблюдений, данных |
| Вероятность | Из модели, предположений или расчетов |
| Зависит ли от числа наблюдений | |
| Частота события | Да: чем больше наблюдений, тем точнее оценка |
| Вероятность | Нет: вероятность не меняется от числа наблюдений |
| Что происходит при большом количестве наблюдений | |
| Частота события | Стремится к вероятности |
| Вероятность | Остается постоянной |
| Где используют | |
| Частота события | Для анализа того, что реально происходило |
| Вероятность | Для прогнозов, оценки рисков и принятия решений |
Чтобы не путать частоту события и вероятность, помните три вещи:
- Маленькие выборки искажают картину. Если в одном броске монета выпала орлом, это не значит, что вероятность орла — 100%.
- Частота приближается к вероятности только при большом числе испытаний. Например, при 1 000 бросков монеты частота орла будет близка к 50%.
- Вероятность описывает «идеальные» условия, а частота отражает реальность — монета может быть неровной или поврежденной.
Когда вероятности оценивают неправильно и как этого избежать
Иногда вероятность оценивают некорректно — чаще всего из-за внутренней уверенности, которую человек принимает за объективный расчет.
👉 Объективная вероятность — доля успешных исходов при очень большом числе попыток. Если подбросить монету миллион раз, орел выпадет примерно в половине бросков.
👉 Субъективная вероятность — внутренняя оценка человека: насколько он верит, что событие произойдет. Например, он говорит: «Я на 80% уверен, что наша команда победит» — и меняет уверенность по мере новых фактов о ходе игры.
Именно из-за субъективной вероятности случаются ошибки в прогнозах. Разберем самые распространенные.
❌ «Вероятность 20% — это 2 из 10». Нет. 20% — это вероятность каждого отдельного испытания. В серии из десяти попыток может быть 0, 1, 2, 3 или больше удачных исходов — точное число заранее неизвестно.
❌ «30% — это мало» или «много». Оценка зависит от человека. Объективнее сравнивать вероятности между собой: 30% против 10% означает, что одно событие в три раза вероятнее другого.
❌ Подтверждение собственных ожиданий. Люди склонны искать в данных то, что подтверждает их мнение. Чтобы избежать этого, важно заранее определить, как будут собирать данные и по каким правилам их анализировать.
❌ «Сейчас точно повезет, давно не везло». После серии неудач — или, наоборот, удачных исходов — некоторые рассчитывают на противоположный результат. Но на самом деле каждое выпадение шарика в рулетке, вытаскивание карты из колоды или бросок монеты статистически независимы от предыдущих.
❌ «Я видел только положительные отзывы». Если вы не видели отрицательных отзывов, это не означает, что их нет. Вы видите только часть картины.
Вот несколько советов, которые помогут оценивать вероятность корректно.
💡 Уточняйте, о чем идет речь: об объективной вероятности или о субъективной, то есть внутренней уверенности человека. Это разные вещи, и путаница между ними приводит к ошибкам.
💡 Не ограничивайтесь одним числом. Сравните вероятность с другой или со статистикой: как часто такое событие происходит в реальности.
💡 Для важных решений опирайтесь не на одну статью, а на обзоры и метаанализы — исследования, которые сравнивают сразу много работ и дают более надежную картину.
Признаки хорошего исследования:
- большая выборка — обычно от тысячи участников и выше;
- точно описано, как собирали данные, по каким правилам анализировали и какие критерии использовали;
- открытые результаты и методы, которые другие исследователи могут проверить и воспроизвести.
Признаки сомнительного исследования:
- маленькая выборка — несколько десятков участников, часто без контрольной группы;
- нет подробностей о том, как проводили расчеты и проверяли гипотезы;
- подозрительно «красивые» или сильные выводы, полученные на маленьких выборках.
Как оценивать риски с точки зрения теории вероятностей
Чтобы посчитать риск — вероятность непогоды, аварии, поломки или любого другого неприятного события, — сначала нужно понять, как часто случается это событие и насколько серьезными будут последствия.
Оценка риска — это способ измерить, насколько вероятно нежелательное событие и насколько сильно оно повлияет на ситуацию. Любой риск можно разложить на две главные составляющие: вероятность события — как часто оно может произойти — и последствия — насколько будет плохо, если это произойдет.
Формула риска:
Что есть что в формуле:
- R — риск;
- P — вероятность наступления нежелательного события;
- L — масштабы или стоимость ущерба при его наступлении.
Дальше приведем пошаговый алгоритм, который поможет оценивать любой риск и ущерб.
Шаг первый — определите вероятность события (P) в процентах или долях. Есть два способа посчитать вероятность для формулы:
- Математически, если событие уже случалось раньше. Например, если из ста поездок на велосипеде человек падал пять раз, то вероятность падения ≈ 5%.
- Логически — если статистики нет, но можно оценить ситуацию. Например, вероятность, что сломается новая ручка, низкая, а старая — высокая.
Шаг второй — оцените ущерб (L). Ущерб можно измерить, например:
- в деньгах — если сломается телефон, убыток составит 10 000 ₽;
- во времени — если опоздать, потеряешь один час;
- в изменении состояния здоровья — если упасть с велосипеда, можно получить травму.
Проблема таких единиц в том, что они не универсальны: здоровье и жизнь нельзя точно измерить деньгами, а цена риска у всех своя.
Шаг третий — переведите ущерб в условные баллы. Так как оценивать ущерб можно по-разному, используют шкалу условных баллов. Она помогает сравнивать риски разной природы и решать, на какие угрозы реагировать в первую очередь, а какие можно игнорировать.
Например, если «падение с велосипеда» = 1 балл, а «попадание под машину» = 100, то даже при низкой вероятности ДТП его риск будет значимым. Это важный вывод, пропишем его крупно:
Низкая вероятность не всегда означает низкий риск. Стоит учесть стоимость ущерба — в баллах.
Баллы позволяют сравнивать несравнимое — например, простуду и аварию — и принимать рациональные решения. Например, если риск гриппа = 30% × 5 = 1,5, а риск ДТП = 0,1% × 100 = 0,1, то рациональнее сделать прививку от гриппа, чем панически бояться машин.
Чтобы составить шкалу, условные баллы назначают по тяжести последствий: чем хуже итог, тем выше балл. Для примера мы собрали две шкалы.
Не бойтесь, что ваша шкала будет субъективной, — главное, чтобы она помогала принимать решения. Сам факт, что вы оцениваете риски в одной системе, уже дает пользу.
Если сложно распределить риски по степени тяжести, можно сделать так:
- выберите категорию риска — здоровье, финансы, репутация;
- определите максимальный ущерб — например, смерть или полный финансовый крах = 100 баллов;
- распределите остальные риски по степени тяжести относительно максимума.
Шаг четвертый — посчитать риск (R). Чтобы оценить риск, нужно умножить вероятность на балл ущерба.
Для примера посчитаем риск упасть с лестницы в офисе. Вероятность — 5% в год. Ущерб — перелом ноги — оценим в 50 баллов. Общий риск: 5% × 50 = 2,5.
Другой риск — пожар в здании. Вероятность — 0,1% в год. Ущерб — человеческие жертвы — 100 баллов. Общий риск: 0,1% × 100 = 0,1.
Важно помнить: одна и та же оценка риска может вести к разным решениям — в зависимости от контекста. Для себя мы чаще сравниваем риски между собой. Если выше риск сломать ногу, тогда логичнее прежде всего купить резиновый коврик для лестницы, а не огнетушитель.
Но для систем безопасности на работе редкие, но катастрофические события требуют мер даже при низком риске. Поэтому при оценке риска нужно руководствоваться и математическими данными — вероятностями и баллами ущерба, — и контекстом.
Покажем пример расчета со всеми данными для одной ситуации — езды на велосипеде.
Оценка риска — это математика плюс здравый смысл. Чем точнее вы оцениваете вероятность и ущерб, тем более взвешенные решения принимаете.
Главное правило: чем выше общий риск (вероятность × балл ущерба), тем важнее его контролировать. Даже если событие случается редко, но последствия тяжелые, его нужно учитывать.
Как оценить риск и снизить его
Если риск меньше 1, обычно можно не беспокоиться. Редкие, но опасные события — пожар, авария — требуют внимания, даже если их вероятность меньше 1
Если риск 1—10, стоит подумать о профилактике
Риск более 10 требует срочных мер
Частые, но мелкие риски, такие как разряженный телефон, можно просто учитывать, но не бояться их
Нельзя исключить все риски, но можно выбрать оптимальный вариант — например, не отказываться от велосипеда, а просто ездить осторожнее
Чтобы уменьшить риск, стоит снизить вероятность события: ездить на велосипеде аккуратнее, смотреть на дорогу, пользоваться светоотражающими элементами, включать фары в темное время суток
Еще можно снизить ущерб: надеть шлем, чтобы при аварии было не так больно и не получить травму
Теперь вы знаете, как оценивать риск. Мы предлагаем попробовать посчитать его.
Ниже — два задания, где нужно поработать с таблицей, которую мы только что разобрали.
Как оценивать вероятности и риски в реальной жизни
Теперь вы знаете, что риск содержит в себе не только математическую вероятность, но и ущерб. Напомним.
Вероятность (P) показывает, наступит ли событие. Формула, где P(A) — вероятность события A, m — число благоприятных исходов события А (тех, которые нас устраивают), n — общее число возможных исходов:
Оценка риска — способ измерить, насколько вероятно что-то плохое и насколько это плохое повлияет на ситуацию. Напомним формулу:
Что есть что:
- R — риск;
- P — вероятность наступления нежелательного события;
- L — масштабы или стоимость ущерба при его наступлении.
В реальной жизни иногда достаточно только оценить вероятность, но иногда важно учесть и последствия. Например, «вероятность дождя 20%» можно просто принять к сведению, а «вероятность пожара 0,1%» требует принять меры безопасности из-за больших возможных последствий.
Дальше в уроке будет только практика — разборы четырех реальных ситуаций, расчеты вероятностей и задания для вас. Если хотите, можете сначала перечитать урок. Или наоборот — отложить его, отдохнуть и вернуться позже.
Успеете ли вы на автобус
Автобус приходит каждые десять минут. Вы успеете, только если он приедет в ближайшие две минуты.
Считаем вероятность. Вероятность опоздать = ваш запас времени / интервал автобуса. Данные для расчета:
- возможное время ожидания — 10 минут;
- «удачный промежуток» — 2 минуты.
Вероятность успеть = 2 / 10 = 0,2 = 20%.
Вероятность опоздать = 100% − 20% = 80%.
Вывод. Вероятность опоздать очень высокая. Даже без оценки ущерба понятно, что ситуация рискованная — можно сорвать планы.
В жизни мы часто оцениваем вероятность по частоте событий. Если что-то случается примерно в каждом третьем случае, как в задании, мы автоматически ожидаем такую же вероятность в будущем. Здесь это работает: поскольку примерно один из трех автобусов переполнен, шанс ждать больше пяти минут — тоже один из трех.
Стоит ли покупать готовую еду в сомнительном месте
Вы любите покупать готовую выпечку и прочитали в соцсетях историю про соседнюю пекарню. На нее поступало много жалоб в Роспотребнадзор: согласно статистике обращений, каждый десятый пирожок оказывается испорченным. А потом стало известно, что половина покупателей, съевших испорченный пирожок, обратилась в медучреждения с диареей и рвотой.
Вам лень идти до другой пекарни, и вы раздумываете о последствиях покупки пирожка в ближайшей.
Считаем вероятность и риск. Шанс, что пирожок плохой, — 10% (0,1). Если он плохой, вероятность отравиться — 50% (0,5).
Сначала посчитаем общую вероятность отравиться. Для этого понадобится формула условной вероятности:
P(Отравились, если пирожок плохой) = P(Отравились и Плохой) / P(Плохой).
Преобразуем ее:
P(Отравились и Плохой) = P(Отравились, если пирожок плохой) × P(Плохой).
Данные для расчета уже есть:
- шанс, что пирожок плохой, — 10% (0,1);
- если он плохой, шанс отравиться — 50% (0,5).
P(Отравились и Плохой) = 0,5 × 0,1 = 0,05 = 5%.
Вероятность 5% выглядит незначительной, но раз речь идет о здоровье, давайте посчитаем риски.
Для этого добавляем коэффициент из шкалы ущерба. Допустим, диарея и рвота — это 20 по вашей шкале. Получаем, что R = 5% × 20 = 1.
Вывод. При значении риска 1 и выше уже стоит задумываться о последствиях, поэтому пирожок лучше не покупать.
Прием расчета в задании — умножение вероятностей — работает, когда одно событие следует за другим и мы хотим узнать вероятность того, что они оба произойдут.
Потеряете ли вы телефон на прогулке
Согласно статистике, каждый час телефон может выпасть из кармана с вероятностью 1%. Какой риск потерять телефон во время пятичасовой прогулки?
Считаем вероятность. Считаем общую вероятность потери:
- Р (не потерять за 5 часов) = Р (не потерять за 1 час)⁵;
- Р (потерять) = 1 − Р (не потерять).
Р (не потерять телефон за один час) = 100% − 1% = 99% = 0,99.
Р (не потерять телефон за пять часов) = 0,99 × 0,99 × 0,99 × 0,99 × 0,99 ≈ 0,951 ≈ 95,1%.
Р (потерять) = 1 − 0,951 = 0,049 = 4,9%.
Вывод. Если за день риск потерять телефон — почти 5%, то лучше класть его в сумку.
Важно: такое умножение вероятностей работает, если риски каждого часа независимы. В реальности могут влиять дополнительные факторы — например, порванный карман или активные игры.
Урок почти закончен. Напоследок предлагаем вспомнить всю теорию еще раз, пока мы разбираем бытовой вопрос — стоит ли покупать страховку багажа.
Стоит ли покупать страховку багажа перед полетом
Вы летите из Казани во Владивосток с пересадкой в Москве. Чтобы понять, оформлять ли страховку, вам нужно узнать, какова вероятность потерять багаж при двух перелетах с пересадкой и какой риск в деньгах это создает.
Собираем данные для расчета:
- вес вашего багажа — 15 кг;
- стоимость содержимого вашего чемодана — одежда, обувь, гигиенические принадлежности — примерно 20 000 ₽;
- показатель потери багажа в РФ — 0,6% на перелет;
- возмещение при утере — до 600 ₽ за килограмм.
Считаем вероятность и риск. Вероятность не потерять багаж за два перелета (с учетом пересадки) = (Вероятность не потерять за один перелет)². Вероятность потерять = 1 − Вероятность не потерять.
Считаем:
- вероятность потерять багаж за один перелет = 0,6% = 0,006;
- вероятность не потерять багаж за один перелет = 1 − 0,006 = 0,994 (99,4%);
- вероятность не потерять багаж за два перелета = 0,994² = 0,988036 (около 98,8%);
- вероятность потерять багаж за оба перелета ≈ 1 − 0,988 = 0,012 = 1,2%.
Теперь посчитаем, сколько можем потерять в деньгах со страховкой и без — и выгодна ли нам страховка.
Обозначим:
- p = 0,012 — вероятность потерять багаж на всем маршруте;
- q = 1 − p = 0,988 — вероятность не потерять;
- S = 20 000 ₽ — стоимость содержимого чемодана;
- C = 9 000 ₽ — компенсация (600 × 15);
- L = S − C = 11 000 ₽ — чистый убыток при срабатывании страхового случая;
- X — стоимость полиса;
- E — возможный убыток.
Без страховки:
- с вероятностью q убыток = 0;
- с вероятностью p убыток = S = 20 000.
Получается, если не страхуемся, с вероятностью 0,988 ничего не теряем, с вероятностью 0,012 теряем 20 000 ₽. Ожидание потерь, если не страхуемся: 240 ₽.
Со страховкой:
- с вероятностью q убыток = X;
- с вероятностью p убыток = X + L = X + 11 000.
Выходит, если страхуемся, с вероятностью 0,988 теряем стоимость страховки, с вероятностью 0,012 теряем 11 000 ₽ плюс стоимость страховки. Ожидание потерь, если страхуемся: 0,988 × X + 0,012 × (X + 11 000) = X + 132 ₽.
Страховаться выгоднее, если X + 132 ≤ 240 → X ≤ 108 ₽.
Вывод: выгодно страховать багаж, только если страховка стоит меньше 108 ₽. В реальной жизни такие цены почти не встречаются, значит, чаще всего платить за страховку багажа не имеет смысла: ожидаемый убыток без нее ниже стоимости полиса.
Запомнить
- Вероятность (P) помогает оценить, наступит ли событие. Она помогает принимать более взвешенные решения — и избегать возможных рисков.
- Вероятность можно считать по-разному: если исходы равновероятны, берем число благоприятных исходов и делим на общее число вариантов.
- В расчетах важно учитывать, зависят события друг от друга или нет.
- На оценки часто влияет внутренняя уверенность: нам может казаться, что событие почти наверняка случится. Чтобы избежать ошибок, лучше опираться на объективные данные — частоту исходов при большом числе попыток.
- Риск учитывает два фактора: вероятность и ущерб. Чтобы его оценить, вероятность умножают на условный балл последствий: чем тяжелее итог, тем выше балл.
Что дальше
Теперь вы можете оценивать риски в различных бытовых ситуациях. А в следующем уроке разберемся, можно ли вообще доверять числам.
Делимся лайфхаками и главным из курсов Учебника Т—Ж про деньги и жизнь в нашем телеграм-канале. Подписывайтесь: @t_uchebnik
