Что вы узнаете
- Какие жизненные процессы описывают экспоненты и логарифмы.
- Как с помощью экспоненты считать рост полезных и опасных процессов.
- Как считать логарифмический рост в обучении и спорте.
- Как анализировать графики экспоненты и логарифма.
Какие жизненные процессы описывают экспоненты и логарифмы
Многие процессы в жизни развиваются плавно: растет пробег автомобиля, поднимается растение, наполняется ванна.
Но иногда изменения происходят по-другому: сначала почти ничего не меняется, а потом происходит резкий скачок — как с дрожжами в тесте, деньгами на вкладе или популярностью контента в соцсетях. Бывает и наоборот: сперва рост быстрый, а потом замедляется — например, в случае похудения или восстановления после травмы.
Все эти процессы описывают две математические функции.
Экспонента — когда рост стремительный, почти «взрывной».
Логарифм — когда вначале прогресс заметен, а потом постепенно замедляется.
Может показаться, что это сложные понятия, за которые даже не стоит браться. Но на самом деле вы уже с ними интуитивно знакомы.
Какие ситуации описывает экспонента, а какие — логарифм
| Экспонента | Логарифм |
|---|---|
| Вы получаете проценты на уже накопленные проценты по вкладу | Вы замечаете, что новые слова на иностранном языке уже не запоминаются так быстро, как раньше |
| Видео набирает все больше и больше просмотров | После взлета популярности рост просмотров видео почти остановился |
| Количество зараженных вирусом очень быстро растет | Спустя полгода в спортзале прогресс замедляется, и каждая прибавка веса на тренажерах дается с трудом |
Какие ситуации описывает экспонента, а какие — логарифм
| Экспонента | Логарифм |
| Вы получаете проценты на уже накопленные проценты по вкладу | Вы замечаете, что новые слова на иностранном языке уже не запоминаются так быстро, как раньше |
| Видео набирает все больше и больше просмотров | После взлета популярности рост просмотров видео почти остановился |
| Количество зараженных вирусом очень быстро растет | Спустя полгода в спортзале прогресс замедляется, и каждая прибавка веса на тренажерах дается с трудом |
В этом уроке мы переведем интуитивное понимание на язык формул и графиков и покажем, как применять их в жизни.
Что такое экспонента
Экспонента описывает рост, который сначала кажется незаметным, а потом становится стремительным. Она помогает понять, как быстро растут накопления или популярность ролика в соцсетях.
С помощью экспоненты можно, например:
- более осознанно выбирать вклады и акции;
- предположить, насколько вырастут цены через несколько лет;
- описать, как распространяются вирусы во время эпидемий.
Мы уже немного говорили о подобном стремительном росте в третьем уроке, в разделе про сложный процент — это когда проценты начисляются не только на первоначальную сумму вклада, но и на накопленные проценты.
Покажем на простом бытовом примере с числами, как выглядит рост по экспоненте.
Представьте, что вы купили рубашку за 1 000 ₽, а через год цена поднялась на 20%. Теперь она стоит 1 000 × 1,2 = 1 200 ₽. В третьем уроке мы подробно разбирали, как считать проценты: напомним, что если цена увеличивается на p%, то надо умножать ее на (1 + p / 100), а если уменьшается на p% — то на (1 − p / 100).
Еще через год рубашка снова подорожала на 20%. Теперь цена считается не от первоначальных 1 000 ₽, а уже от 1 200 и составит 1 200 × 1,2 = 1 440 ₽. За два года цена выросла не на 400 ₽, а на 440, потому что во второй раз прибавка считалась от новой суммы.
Если так продолжится и дальше, то каждый год мы будем умножать цену на 1,2. Через три года за футболку придется заплатить 1 000 × 1,23 = 1 728 ₽, а через пять лет — 1 000 × 1,25 = 2 488,32. И дальше будет еще стремительнее!
То, что вы сейчас увидели, называется экспоненциальным ростом — он происходит все стремительнее, потому что каждое новое приращение считается от уже увеличенной суммы.
В обычной жизни этой фразой часто называют любой быстрый рост, но с точки зрения математики такой рост имеет строго определенную форму — он описывается формулой:
Что есть что:
- а — это основание степени: какое число мы умножаем каждый раз;
- x — показатель степени: сколько одинаковых множителей, равных основанию, нужно взять;
- y — результат.
📌 Итак, экспоненциальный рост — это когда прибавка зависит от того, сколько уже есть.
Именно поэтому такие процессы сначала кажутся медленными, а потом ускоряются сами собой.
Как с помощью экспоненты посчитать быстрый рост, который нас обрадует
Экспоненциальный рост встречается в самых разных ситуациях: в развитии технологий, распространении контента или размножении организмов. Но самый наглядный и близкий к жизни пример — банковские вклады.
Этот процесс очень ярко показали в мультфильме «Футурама». Главного героя Фрая заморозили на тысячу лет. На его счете было всего 93 цента, но банк продолжал начислять проценты. Когда Фрай проснулся и проверил счет, там оказалось почти 4,3 млрд долларов.
Так получилось благодаря силе экспоненциального роста. Счет был с капитализацией, когда сумма вычисляется по формуле сложного процента. Ставка в банке была небольшой — 2,25% годовых. Но за тысячу лет даже такая ставка превращает центы в миллиарды. Это описывает формула сложного процента:
Такие впечатляющие результаты получились из-за показателя 1 000. Мы, конечно, столько лет ждать не будем. Дальше с помощью экспоненты посчитаем, сколько в реальности можно заработать на вкладах.
Вот общая формула для вычисления суммы на счете со сложными процентами:
Здесь:
- S — итоговая сумма;
- P — первоначальная сумма вклада;
- r — годовая ставка в долях, например 10% = 0,1;
- n — сколько раз в год начисляют проценты. Если раз в месяц, то n = 12;
- t — срок в годах.
💡 Небольшая подсказка. В 90% бытовых ситуаций можно использовать упрощенную версию формулы — когда проценты начисляются раз в год. Она гораздо проще и подходит почти для всех жизненных расчетов:
Попробуйте оценить, насколько быстро растет число, если каждый раз прибавляется доля от уже имеющегося значения.
📌 Подведем итог. Экспоненциальные процессы вначале почти незаметны, но со временем рост становится лавинообразным. Даже небольшой процент, работающий долго, дает крупный результат — и в финансах, и в других сферах.
✍️ И небольшое задание. Возьмите калькулятор и узнайте, сколько принес бы вклад под 10% годовых с ежегодной или ежемесячной капитализацией процентов, если сегодня положить на него сумму, равную вашей месячной зарплате. Посчитайте, какой будет результат через 5, 10 и 20 лет. Сравните числа — и почувствуете силу экспоненциального роста.
Поэкспериментируйте — подставьте ставку 15% и снова сравните.
Если считать на калькуляторе сложно, воспользуйтесь специальным калькулятором вкладов Т—Ж.
Экспоненциальный рост может показать, сколько нужно отложить денег, чтобы жить на проценты. Если вам интересны такие расчеты — прочитайте объяснение ниже.
Как экспонента поможет понять, сколько нужно денег, чтобы жить на проценты
Именно экспоненциальный рост делает возможным жизнь на проценты. Разберемся, что это означает и сколько денег нужно для такой схемы.
Представьте, что у вас есть крупная сумма, которую вы кладете в банк. Цель проста: ежегодные проценты полностью покрывают ваши годовые расходы. Сам вклад вы не трогаете — используете только то, что «накапало». Получается вечный финансовый двигатель, в котором деньги приносят новые деньги.
Например, у вас есть капитал K, а ставка банка — 5% годовых. Значит, в конце года вы получаете K × 0,05.
Теперь посчитайте свои ежемесячные расходы и умножьте их на 12. Пусть годовые траты равны C. Чтобы жить на проценты, C должно быть не больше, чем K × 0,05. Еще лучше, если С будет меньше:
Капитал, нужный для воплощения плана, можно посчитать по формуле:
Если ставка 5% — делите на 0,05, если 10% — на 0,1; если 15% — на 0,15 и так далее.
Конечно, ставка может меняться, да и расходы со временем будут расти. Поэтому разумно закладывать расходы чуть выше, а ставку — чуть ниже, чтобы получился запас. Но формула дает хорошее ориентировочное понимание, какого капитала достаточно для «ранней пенсии». При этом сам вклад вы сохраняете.
Посмотрим на конкретном примере.
Допустим, ежемесячные траты Анны — 90 000 ₽. В год это 1 080 000 ₽.
Банк предлагает вклад под 8% годовых.
Тогда необходимый капитал:
1 080 000 / 0,08 = 13 500 000 ₽ — сумма, проценты с которой смогут покрывать расходы Анны, а работать будет необязательно. Осталось всего лишь взять где-то 13,5 млн рублей.
Как с помощью экспоненты посчитать рост опасных процессов
Экспонента описывает и опасные явления: рост долгов по кредитам, распространение вирусов и пожаров, вымирание видов.
Многие экологические процессы тоже развиваются по экспоненте. Классический пример — пруд, который ежедневно зарастает водорослями: если к 30-му дню он закрыт полностью, то на 29-й был закрыт только наполовину. Такой скачок хорошо показывает сущность экспоненты: очень долго все выглядит спокойно, а потом рост становится резким.
Разберем особенности таких расчетов на примере эпидемии. Представьте, что в соседнем городе обнаружили сотню заразившихся новой болезнью. Врачи говорят, что каждые пять дней число случаев удваивается:
- через пять дней будет 100 × 21 = 200 заболевших;
- через 10 дней уже 100 × 22 = 400 заболевших;
- через 15 дней — 100 × 23 = 800;
- а через 20 — целых 100 × 24 = 1 600 человек.
Рост ускоряется, потому что каждое новое увеличение считается от все более высокой базы. В таких ситуациях экспонента работает против нас. Но именно она помогает заранее оценить масштаб проблемы — и вовремя принять меры.
В начале эпидемии — до введения ограничений — рост часто хорошо описывается формулой:
Что есть что:
- N(t) — число заболевших к моменту t — например, к определенному дню;
- N₀ — начальное число случаев;
- a — во сколько раз растет число за единицу времени. Например, a = 1,3 означает рост на 30% в день.
В расчетах опасных процессов часто используют время удвоения: через сколько дней величина увеличится в два раза. Даже небольшое снижение множителя a заметно помогает. Например, если уменьшить передачу инфекции с а = 1,3 до а = 1,1, то время удвоения вырастет почти в три раза!
Важно помнить, что в теории экспонента растет бесконечно, но в реальности вмешиваются ограничения: люди начинают меньше контактировать, вводят меры безопасности, появляется иммунитет. Из-за этого кривая постепенно выравнивается.
Рассмотрим пример. В городе A живет 300 000 человек. В начале месяца зарегистрировали 500 случаев ковида. Число заболевших растет на 15% в день. Сколько будет через неделю?
Используем формулу:
Значит, через неделю заболевших будет:
Экспоненты могут описывать не только рост, но и спад. Для растущей экспоненты (a > 1) значения увеличиваются все быстрее, кривая становится круче. Для убывающей (0 < a < 1) — наоборот, значения убывают: сначала быстро, потом все медленнее.
Такие модели используют для описания затухания процессов, охлаждения или ослабления действия лекарства.
Как анализировать графики экспоненты
Экспоненты описывают очень быстрые процессы — причем они могут быть как возрастающими, так и убывающими. Соответственно, при a > 1 график будет возрастающим, при 0 < a < 1 — убывающим.
Обычно мы смотрим только на правую часть графика, то есть на то, как процесс развивается со временем. Но если взглянуть на левую часть, можно увидеть, как ситуация выглядела раньше: это ретроспектива, полезная для понимания контекста и динамики до текущего момента.
Чтобы понять, что показывает график экспоненты, запомните несколько правил.
📈 Смотрите на наклон. Чем круче линия идет вверх (a > 1), тем стремительнее рост. Чем круче линия идет вниз (0 < a < 1), тем быстрее процесс затухает.
📈 Сравнивайте сценарии. Постройте два графика на одной шкале — например, вклад под 7% и под 5%. Тот, что выше через пять лет, выгоднее, даже если разница на старте кажется небольшой.
📈 Отмечайте горизонт. На оси X задайте интересующий период — шесть месяцев, 10 лет или любой другой срок. Посмотрите, какому значению на оси Y он соответствует. Это и будет ваш результат.
📈 Определяйте характер процесса. Пологий подъем означает плавное накопление. Почти вертикальная линия — взрывной рост: например, вирус, популярность, скачок цен. Кривая, идущая вниз, показывает угасание, как в случае долговой нагрузки или снижения интереса.
Предлагаем попрактиковаться.
Если на графике линия идет вверх и становится все круче, что это?
Если линия на графике быстро падает, а потом постепенно выравнивается, что это за процесс?
Отметьте утверждения, верные для растущего графика экспоненты.
Мы разобрали, как экспонента отвечает на вопрос, каким станет число через t шагов.
Но часто важнее другой вопрос: через сколько шагов число станет таким, как нам нужно. Во второй половине урока мы ответим на этот вопрос с помощью логарифма.
Что такое логарифм
Выше мы говорили о времени удвоения — как скоро величина вырастет в два раза. Чтобы узнать, как находить время удвоения быстро и по формуле, пригодится логарифм. Например, с его помощью можно понять, когда рынок будет перенасыщен товаром, когда эффект от изучения языка станет совсем незаметным или просто через какое время остынет чашка чая.
Экспонента отвечает на вопрос «Каким станет число через t шагов?», логарифм — «Через сколько шагов число станет тем, что нам нужно?». Для наглядности переформулируем примеры из таблицы в начале урока.
Еще раз сравниваем примеры экспоненты и логарифма
| Экспонента | Логарифм |
|---|---|
| Число просмотров вирусного видео быстро растет | Через сколько дней вирусное видео посмотрит 1 млн человек? |
| График заражений резко идет вверх | Через сколько дней заболевших станет десять тысяч, если их число растет на 30% в день? |
| Вы откладываете деньги под сложный процент, и сумма растет все быстрее — сколько денег будет через пять лет? | Если цель — накопить 10 млн рублей, сколько времени понадобится, чтобы сумма выросла до 10 млн? |
Еще раз сравниваем примеры экспоненты и логарифма
| Экспонента | Логарифм |
| Число просмотров вирусного видео быстро растет | Через сколько дней вирусное видео посмотрит 1 млн человек? |
| График заражений резко идет вверх | Через сколько дней заболевших станет десять тысяч, если их число растет на 30% в день? |
| Вы откладываете деньги под сложный процент, и сумма растет все быстрее — сколько денег будет через пять лет? | Если цель — накопить 10 млн рублей, сколько времени понадобится, чтобы сумма выросла до 10 млн? |
Посмотрим, как считать логарифм.
Допустим, в городе есть 200 блогеров и каждый день их число растет на 26%. Нужно узнать время удвоения: через сколько дней блогеров станет 400.
Чтобы это посчитать, нужно решить уравнение:
Делим обе части на 200 и получаем:
Здесь и понадобится логарифм: он помогает найти показатель степени x, при котором число 1,26 превращается в 2.
Логарифм числа b по основанию a — это степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Обозначается так:
Число a называют основанием логарифма, оно обязательно больше 0 и не равно 1.
Например, логарифм числа 16 по основанию 2 равен 4, потому что 24 = 16.
А вот логарифм числа 5 по основанию 2 нельзя записать простой дробью — это иррациональное число, поэтому его оставляют в виде log2 5.
Не обязательно запоминать все типы логарифмов. Важно только понимать идею: логарифм — это показатель степени.
Есть два часто встречающихся основания логарифмов. Пусть мы берем их от некоторого числа b:
- логарифм по основанию 10 записывают как log b и называют десятичным логарифмом — десятку внизу обычно не пишут;
- логарифм по основанию e записывают как ln b и называют натуральным логарифмом.
Еще примеры:
- log2 64 = 6, потому что 26 = 64;
- log 1 000 = 3, потому что 103 = 1 000;
- log5 √5 = 1/2, потому что 50,5 = √5;
- ln 1 = 0, потому что e0 = 1;
- log7 (−49) не существует, потому что в какую степень 7 ни возводи, никогда не получится −49.
А теперь посмотрим, как это работает в реальной ситуации — с нашими блогерами: 1,26x = 2.
Решение будет таким:
Это число можно приближенно посчитать на калькуляторе. Для этого сначала нужно нажать на 2, затем кнопку logx — у вас переменная внизу может быть названа другой буквой, — а потом ввести основание логарифма.
В нашем примере получится x = log1,26 2 ≈ 2,999. Значит, количество блогеров в городе увеличится вдвое за три дня.
📌 Итак, логарифм помогает оценить время удвоения: он связывает темп роста и количество шагов, которые нужны, чтобы показатель вырос вдвое. Даже без формул понятно: чем медленнее рост, тем дольше ждать удвоения.
Формула для вычисления времени удвоения:
Обратите внимание: чтобы вычислить время удвоения, не нужно знать начальное значение. В задаче про блогеров неважно, удваиваем мы 200 или 300 человек: при одинаковом темпе роста время будет одинаковым.
Теперь посмотрим, где в жизни встречаются логарифмические процессы — в обучении, спорте и развитии навыков.
Как считать логарифмический рост в обучении и спорте
Теперь вы знаете, что такое логарифм и как он помогает быстро отвечать на некоторые вопросы про экспоненту.
Но есть процессы, которые описываются логарифмической функцией, такой как y = log3 х.
График этой функции можно посмотреть ниже.
Обычно логарифмической функцией описываются медленно растущие процессы, где заметный прогресс есть в начале, а потом он становится все менее выраженным. Например, в спорте. Когда вы только начинаете ходить в зал, сила и мышцы растут быстро. Через год прогресс замедляется: +5 кг в месяц превращаются в +1 кг, а потом и в +0,2 кг.
Рост продолжается, но его сложнее увидеть — и это может демотивировать.
Математики используют одну из самых простых моделей замедляющегося роста:
Что есть что в формуле:
- P(t) — прогресс, например сила;
- t — время занятий;
- k — ваш индивидуальный коэффициент.
Нам здесь важен не вывод формулы, а ее поведение: быстрый прогресс вначале и постепенное выравнивание позднее.
Давайте что-нибудь посчитаем.
Кристина начала ходить в зал, и со временем ее прогресс по поднятой массе хорошо стал описываться формулой:
Здесь t — это номер дня с начала тренировок.
Она решила поучаствовать в стодневном челлендже и тренироваться каждый день. Сколько она сможет поднимать к концу челленджа? Подставим в формулу 100 и получим:
Точно так же выглядят и другие процессы — например, обучение новым навыкам. Логарифмические процессы описывают именно такие явления: сначала рост заметный, потом прирост уменьшается — и система постепенно выходит на плато. Это не остановка, а естественное приближение к равновесию.
В начале вы всегда «снимаете сливки» — например, в новом языке учите самые простые и распространенные слова. Потом наступает очередь более редких и сложных: их труднее учить, поэтому прогресс кажется медленнее. Важно помнить, что это нормальная часть пути.
Вот на чем стоит фокусироваться, чтобы не расстраиваться, — на примере обучения:
- Смотрите на долгосрочную перспективу. Даже 150—200 слов — уже хорошая база: можно понимать простые тексты и поддерживать разговор. А первые 500 слов дают почти 80% того, что нужно для бытового общения.
- Цените стабильность. Пусть прирост небольшой, но выученные слова остаются в памяти надолго — это прочный фундамент.
- Меняйте подход. На каком-то этапе полезнее практиковаться в устной речи и чтении, чем просто учить новые слова: качество и разнообразие практики важнее количества. Помогают фильмы, сериалы и стендапы на языке оригинала с субтитрами.
- Помните про накопительный эффект. Каждый день добавляет новый кирпичик в ваш языковой дом.
✍️ Напоследок предлагаем вспомнить, где в вашей жизни вы замечали логарифмический рост — в спорте, учебе или работе. Если захотите, попробуйте нарисовать график своего прогресса. Скорее всего, он тоже сначала прошел стадию быстрого роста, а потом случилось плавное выравнивание: именно так работают логарифмы.
Как анализировать графики логарифма
В простейшем случае логарифмическая функция задается формулой y = loga x, где a — фиксированное число, которое определяет скорость изменений. Логарифм — всегда медленно растущая функция, но он, как и экспонента, может быть возрастающим и убывающим.
Если a > 1, функция возрастает. Если 0 < a < 1 — убывает. Сравните два графика.
Про примеры возрастающих логарифмических процессов мы уже говорили — прогресс в спорте, изучении языков и освоении навыков. А вот примеры убывающих, когда изменение сначала кажется резким, а потом почти незаметным:
- кофе остывает. Только что налитый кофе 95 °C быстро остывает до комнатной температуры, но последние 10 °C уходят очень медленно;
- звук затухает. После выключения колонки громкость резко падает, но остаточное эхо или гул исчезают постепенно и довольно долго;
- свет тускнеет или аромат духов выветривается — это тоже убывающий логарифмический процесс.
Чтобы понять, что показывает график логарифма, запомните несколько правил.
📈 Определите «зону быстрого результата» и «зону усилий». Представим, что вы хотите похудеть и начали следить за питанием. Первые 5 кг уходят легко, а чтобы сбросить следующие 5, нужно гораздо больше времени. Если построить растущий логарифмический график, он покажет, когда вы быстро добьетесь успехов, а когда прогресс будет даваться тяжело.
📈 Ищите на графике «точку разумного предела». Логарифм показывает, что после быстрого роста последующие улучшения требуют непропорционально больших усилий или вложений. Найдя на графике место, где рост почти останавливается, вы увидите разумный предел эффективности.
📈 Используйте убывающий график для планирования «исчезновений». Убывающий логарифм показывает, как процесс сначала быстро убывает, а затем медленно исчезают остаточные эффекты. Это помогает оценить, сколько времени понадобится, например, чтобы выветрился запах или чай остыл до комнатной температуры.
Мы посмотрели на эти две функции отдельно. Теперь полезно увидеть, чем они различаются «вживую», если смотреть только на график.
В описании графиков чаще всего важны не сами числа, а «границы», к которым график стремится. Эти границы называются асимптотами. Посмотрим, какие они у экспоненты и логарифма.
У экспоненты всегда есть горизонтальная асимптота — линия, к которой график стремится, но никогда не достигнет. Обычно вся экспонента расположена над этой линией.
У логарифма всегда есть вертикальная асимптота, которой он тоже никогда не достигнет. Обычно весь график расположен правее этой линии.
Напоследок предлагаем прочитать и скачать памятку — в ней собрали главное о том, как анализировать экспоненты и логарифмы в разных ситуациях. Скачайте ее в формате PDF или отправьте себе в телеграм-сообщении.
Итоги
- Быстрые изменения цен, накоплений, прогресса в спортзале или количества зараженных во время эпидемий можно объяснить и даже заранее оценить с помощью двух функций — экспоненты и логарифма.
- Экспоненты описывают самые быстрые процессы, а логарифмы — самые медленные, когда вначале прогресс заметен, а затем замедляется.
- Графики экспонент и логарифмов могут помочь видеть тренды и принимать решения. Например, по графику экспоненты можно оценить, когда вы достигнете нужного результата, а по графику логарифма — когда прогресс в занятиях начнет сильно замедляться.
Что дальше
Поздравляем, вы почти закончили наш курс! Впереди — экзамен, который поможет вспомнить главное и еще раз применить знания из курса для решения жизненных математических задач.
Делимся лайфхаками и главным из курсов Учебника Т—Ж про деньги и жизнь в нашем телеграм-канале. Подписывайтесь: @t_uchebnik
