Задание 1 ЕГЭ по профильной математике: теория и практика с ответами

Чтобы решить задание 1 по профильной математике, нужно выбрать подходящую теорему.

Разберем, какие данные в условии подсказывают нужную связь и как проверить ее применение, а затем потренируемся на задачах.

Задание 1 посвящено планиметрии — геометрии на плоскости. В нем нужно найти длину, угол или площадь.

По проекту спецификации ЕГЭ-2027, задание относится к базовому уровню сложности профильного экзамена; за правильный ответ дают 1 первичный балл.

Ответ записывают целым числом или конечной десятичной дробью и переносят в бланк № 1 без единиц измерения.

Произвольно округлять вычисления нельзя: ответ должен соответствовать условию и формату задания.

Единой последовательности формул для всех геометрических задач нет. Но можно одинаково организовать работу с условием:

1. Выпишите данное и искомое. Будьте внимательны к формулировкам.
2. Перенесите на схему заданные свойства: равные стороны, параллельность, точки касания.
3. Найдите связь между известным и искомым. Проверьте ее условия: для теоремы Пифагора нужен прямой угол, для свойства равнобедренного треугольника — две равные стороны. Если данных не хватает, попробуйте найти промежуточный угол или провести высоту.
4. Вычислите искомую величину. Следите, к какой стороне относится высота и напротив какого угла расположен катет, чтобы не перепутать данные при подстановке.
5. Сверьте результат с вопросом и свойствами фигуры. Катет должен быть меньше гипотенузы, часть площади — меньше всей площади. Затем повторите арифметику и запишите ответ без единиц.

Возьмем пример задания № 1 из проекта демоверсии ФИПИ на 2027 год.

Вписанная окружность — это подсказка к нужному пути решения. Если окружность касается всех четырех сторон четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны:

Почему? От каждой вершины до двух соседних точек касания получаются равные отрезки. В каждой сумме сторон есть по одному отрезку из каждой такой пары — поэтому суммы одинаковые.

По условию задачи, вместе они дают периметр 22. Значит, каждая сумма равна половине периметра:

Мы нашли, что AB + CD = 11. По условию AB = 8, поэтому:

Ответ: 3.

Типичные ошибки в задании. В рекомендациях ФИПИ по результатам ЕГЭ-2026 говорится, что чаще всего встречаются неверное чтение условия и арифметические ошибки.

Ученикам советуют разобраться со свойствами равных касательных, а не только запомнить готовую формулу.

В задании 1 нужно находить стороны, углы и площади плоских фигур. Для этого пригодятся свойства окружности, треугольников и четырехугольников.

Ниже — основные понятия и формулы: применяйте их по условию задачи. Например, прямой угол позволяет применить теорему Пифагора, а две равные стороны треугольника — найти равные углы.

Окружность, углы и касательные. Вершина вписанного угла лежит на окружности, а его стороны проходят через две другие точки окружности. Эти точки делят окружность на две дуги. Угол опирается на ту дугу, на которой нет его вершины.

У центрального угла вершина находится в центре окружности.

Для решения задач полезны три свойства:

1. Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны.
2. Вписанный угол, стороны которого проходят через концы диаметра, равен 90°.
3. Если все четыре вершины четырехугольника лежат на окружности, его противоположные углы в сумме дают 180°. Например, углу 110° противоположен угол 70°.

Не путайте две ситуации: четырехугольник вписан в окружность — его вершины лежат на ней; окружность вписана в четырехугольник — она касается всех его сторон.

Касательная касается окружности в одной точке. Радиус, проведенный в эту точку, образует с касательной прямой угол.

Если из одной внешней точки провести две касательные, отрезки от этой точки до точек касания будут равны. Из этого следует свойство, которое мы использовали в разборе: у четырехугольника с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны. Каждая сумма составляет половину периметра — P / 2.

Прямоугольный треугольник. Две стороны, которые образуют прямой угол, — катеты. Сторона напротив прямого угла — гипотенуза. Она длиннее каждого катета.

Если катеты обозначить a и b, а гипотенузу — c, теорема Пифагора дает:

Она позволяет найти третью сторону по двум известным.

Если ищем катет, вычитаем из квадрата гипотенузы квадрат другого катета:

Когда известны острый угол и сторона, помогают синус, косинус и тангенс. Сначала выберите угол: катет напротив него — противолежащий, а второй катет — прилежащий.

• sin угла = противолежащий катет разделить на гипотенузу.
• cos угла = прилежащий катет разделить на гипотенузу.
• tg угла = противолежащий катет разделить на прилежащий катет.

Если выбрать другой острый угол, катеты поменяются ролями.

Два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90°. Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому sin 30° = 1/2.

В задачах могут встретиться высота и биссектриса:

1. Высоту проводят из вершины под прямым углом к противоположной стороне или ее продолжению.
2. Биссектриса делит угол пополам. Поэтому биссектриса прямого угла образует с каждым катетом угол 45°.

Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника. В них неизвестный острый угол можно найти, вычтя известный из 90°.

Чтобы найти угол между этой высотой и биссектрисой прямого угла, сравните их углы с одним и тем же катетом.

Равнобедренный треугольник. У него две равные стороны — боковые. Третью сторону называют основанием. Углы при основании равны.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно делит основание и угол при вершине пополам. То есть она служит и медианой, и биссектрисой.

Эта высота разбивает фигуру на два равных прямоугольных треугольника. В каждом гипотенуза — боковая сторона, один катет — половина основания, второй — высота. Если известны боковая сторона и основание, высоту можно найти по теореме Пифагора.

Параллелограмм. У него противоположные стороны параллельны и равны. Противоположные углы тоже равны, а два соседних угла в сумме дают 180°. Например, рядом с углом 70° находится угол 110°.

Точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам. При этом сами диагонали не обязательно равны.

У некоторых видов параллелограмма есть дополнительные свойства:

1. У прямоугольника все углы прямые, а диагонали равны.
2. У ромба все стороны равны. Его диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы ромба пополам.
3. Квадрат обладает свойствами и прямоугольника, и ромба.

Диагонали ромба делят его на четыре прямоугольных треугольника. Катеты каждого — половины диагоналей, гипотенуза — сторона ромба. Это позволяет применять теорему Пифагора.

Трапеция. У нее ровно одна пара противоположных сторон параллельна. Это основания, а две другие стороны — боковые.

Два угла при одной боковой стороне в сумме дают 180°. Высота перпендикулярна основаниям и показывает расстояние между прямыми, на которых они лежат. Наклонную боковую сторону нельзя подставлять вместо высоты.

У равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Также равны диагонали и углы при каждом основании.

Если опустить высоты из концов меньшего основания на большее, по краям получатся два равных прямоугольных треугольника. Нижний катет каждого равен:

Например, при основаниях 18 и 8 этот катет равен 5. Если известна боковая сторона — гипотенуза полученного треугольника, высоту можно найти по теореме Пифагора.

Для трапеции с неравными боковыми сторонами делить разность оснований пополам нельзя.

Площади фигур. Выбирайте формулу по известным величинам. Если в ней есть высота, она должна относиться именно к той стороне, которую вы используете как основание.

• треугольник: S = a · h / 2, где a — основание, h — высота к нему;
• прямоугольный треугольник: S = a · b / 2, где a и b — катеты;
• треугольник по двум сторонам и углу между ними: S = a · b · sin α / 2. Здесь α — именно угол между сторонами a и b;
• параллелограмм: S = a · h, где h — высота к стороне a;
• прямоугольник: S = a · b, где a и b — соседние стороны;
• квадрат: S = a², где a — сторона;
• ромб: S = d₁ · d₂ / 2, где d₁ и d₂ — диагонали;
• трапеция: S = (a + b) · h / 2, где a и b — основания, h — высота. Если известна средняя линия m, можно использовать S = m · h.

У одного параллелограмма большей стороне соответствует меньшая высота: произведение стороны на высоту должно давать одну и ту же площадь. Если известны сторона и высота к ней, сначала найдите площадь. Затем разделите ее на другую сторону — получите вторую высоту.

Для окружности и круга нужны разные формулы. Окружность — граница, а круг — область внутри вместе с этой границей. Если r — радиус, то:

1. Диаметр: d = 2r.
2. Длина окружности: L = 2πr.
3. Площадь круга: S = πr².

Если радиус увеличить вдвое, длина окружности вырастет вдвое, а площадь круга — вчетверо.

Не заменяйте π на 3,14, если приближение не требуется. Например, при радиусе 3 площадь равна 9π. Если просят найти S / π, ответ — 9.

Подобные треугольники. У них одинаковые углы, а соответствующие стороны отличаются в одно и то же число раз.

Подобие нужно подтвердить. Для этого достаточно одного из трех признаков:

1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого.
2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны.
3. Все три стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого.

Соответствующие стороны лежат напротив равных углов. Сравнивайте их в одном порядке: например, каждый раз делите сторону малого треугольника на сторону большого. Полученное число — коэффициент подобия k.

Если стороны относятся как k, площади относятся как k²:

Проведем внутри треугольника отрезок параллельно основанию — от одной боковой стороны до другой. У вершины получится маленький треугольник. Он подобен большому: угол при вершине у них общий, а каждый угол при основании маленького треугольника равен соответствующему углу большого, поскольку основания параллельны. Значит, стороны маленького треугольника короче соответствующих сторон большого в одно и то же число раз.

Частный случай — средняя линия треугольника. Она соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и вдвое короче нее. Отсеченный маленький треугольник имеет четверть площади исходного.

Если в задаче нужна площадь оставшейся части, вычтите площадь маленького треугольника из площади большого.

Сопоставьте данные с условиями теоремы. В таблице — признаки, которые помогают выбрать связь, и условия, которые нужно проверить.

Если подходящего сочетания пока нет, найдите промежуточный элемент.

Сначала решите их самостоятельно: к каждому ответу запишите хотя бы одну связь, которая позволила его получить. В задачах на углы ответ нужно дать в градусах.

Условия:

1. Выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность, вершины перечислены в порядке обхода. Угол ABC равен 112°. Найдите угол ADC.
2. В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 15, sin A = 0,6. Найдите BC.
3. В равнобедренном треугольнике ABC стороны AB и AC равны 13, основание BC равно 10. Найдите высоту AH, проведенную к основанию BC.
4. Стороны параллелограмма равны 10 и 15. Меньшая из двух высот равна 4. Найдите большую высоту.
5. В равнобедренной трапеции ABCD основания AB и CD равны 18 и 8, боковые стороны AD и BC равны 13. Найдите высоту трапеции.
6. Две стороны треугольника равны 8 и 9, угол между ними равен 30°. Найдите площадь треугольника.
7. В треугольнике ABC точка D лежит внутри стороны AB, точка E — внутри стороны AC; DE параллельна BC. AD = 4, AB = 10, площадь ABC равна 100. Найдите площадь четырехугольника DBCE.
8. В выпуклый четырехугольник ABCD вписана окружность. Его периметр равен 50, сторона AB равна 9. Найдите противоположную сторону CD.
9. В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, угол B равен 65°. Из C к гипотенузе AB проведены высота CH и биссектриса CD, точки H и D лежат на AB. Найдите угол HCD.