28.10.26

Задание 2 ЕГЭ по профильной математике: теория, практика с ответами

Как решать задачи на векторы

Обсудить

Задание 2 ЕГЭ по профильной математике: теория, практика с ответами — Фотография — Кирилл Кухмарь / ТАСС

Алёна Хоперскова

задает вектор

Страница автора

По координатам векторов можно найти разные величины: длину, скалярное произведение или косинус угла. Чтобы выбрать формулу, нужно различать эти понятия.

Разберем условие из проекта демоверсии ФИПИ, объясним теорию и порядок решения. В конце — пять учебных задач с ответами для самостоятельной проверки.

Разбираем задание 2 ЕГЭ по профильной математике

Формулировка задания 2 ЕГЭ по профильной математике

Задание 2 посвящено векторам. В условии могут быть указаны координаты векторов, точки их начала и конца или длины и угол между ними. Иногда данные нужно прочитать с координатной сетки.

От вопроса зависит, что вычислять: длину вектора, скалярное произведение или другую величину.

Возьмем одно из условий проекта демоверсии ФИПИ-2027:

Даны векторы (\vec a=(5;3)) и (\vec b=(4;-6)). Найдите скалярное произведение (\vec a\cdot\vec b).

Здесь известны координаты двух векторов. Требуется найти их скалярное произведение — одно число. В бланк записывают только числовой ответ, без вычислений и пояснений.

За правильный ответ дают 1 первичный балл.

Алгоритм решения задания

Прочитайте вопрос и выпишите данные. Уточните, какую величину требуется найти.
Если нужны координаты, определите их по точкам или рисунку. При действиях с векторами сначала найдите координаты результата.
Выберите способ решения по известным данным: координатам или длинам и углу. Используйте формулу для искомой величины.
Выполните вычисления, соблюдая порядок действий. Отрицательные координаты подставляйте в скобках.
Проверьте результат: длина неотрицательна, косинус лежит от −1 до 1. Запишите в бланк только число, которое отвечает на вопрос.

Разбор примера задания 2 ЕГЭ по профильной математике

Разберем условие из задачи проекта демоверсии ФИПИ: даны векторы (\vec a=(5;3)) и (\vec b=(4;-6)), нужно найти их скалярное произведение.

Координаты уже известны, поэтому искать длины и угол между векторами не требуется. Скалярное произведение можно сразу вычислить по координатам: перемножить первые координаты, затем вторые и сложить результаты.

Первыми стоят числа 5 и 4. Они описывают горизонтальные перемещения двух векторов, поэтому составляют одну пару для умножения:

[
5\cdot4=20.
]

Вторые координаты, 3 и −6, описывают вертикальные перемещения и составляют вторую пару. Отрицательное число подставляем вместе со знаком и заключаем в скобки:

[
3\cdot(-6)=-18.
]

Осталось сложить два произведения. Прибавить −18 — значит вычесть 18:

[
\vec a\cdot\vec b=20+(-18)=20-18=2.
]

Ответ: 2.

Типичные ошибки. В методических рекомендациях для учителей ФИПИ выделяет три основных риска при выполнении задания 2:

Ошибки в знаках координат при сложении векторов. Записывайте вычисление каждой координаты отдельно и проверяйте действия с отрицательными числами.
Нарушение порядка действий. Сначала выполните действия в скобках, затем умножение на число, после него — сложение и вычитание.
Ошибки при вычислении длины вектора. Сначала найдите координаты итогового вектора, затем возведите обе в квадрат, сложите результаты и извлеките корень.

Теория для задания 2 ЕГЭ по профильной математике

Задание проверяет знания по геометрии — теме «Координаты и векторы». Нужно понимать, что такое вектор, как найти его координаты и длину, как выполнять действия с векторами и определять угол между ними.

Вектор и чтение координатной сетки

Вектор — отрезок, у которого указано направление от начала к концу. Его изображают стрелкой. Запись (\overrightarrow{AB}) означает, что начало находится в точке A, конец — в точке B. Наконечник стрелки указывает на B. Вектор можно обозначить и одной буквой со стрелкой сверху: (\vec a).

Координаты вектора показывают, насколько меняется положение при движении от начала стрелки к концу. Первая координата — изменение по горизонтали, вторая — по вертикали. Их записывают в скобках через точку с запятой.

Например, у вектора (3; −2) первая координата равна 3: от начала к концу нужно пройти на 3 единицы вправо. Вторая координата равна −2: на 2 единицы вниз. Знаки показывают направление перемещения: вправо и вверх — плюс, влево и вниз — минус.

Движению вправо или вверх соответствует положительное число, влево или вниз — отрицательное. Если по одной из осей положение не меняется, координата равна нулю.

При чтении сетки сначала находят начало и конец стрелки. Затем проверяют, сколько единиц приходится на клетку, и считают перемещения по горизонтали и вертикали. Считать нужно промежутки между линиями сетки.

У нулевого вектора начало и конец совпадают, обе координаты и длина равны нулю. Направления у него нет.

Координаты вектора и координаты точки

Координаты точки показывают, где она находится относительно начала координат. Координаты вектора показывают, как перейти от одной точки к другой.

Поэтому координаты конца стрелки нельзя автоматически считать координатами вектора. Они совпадают только тогда, когда стрелка начинается в начале координат.

Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вычитают координаты начала: первую из первой, вторую из второй.

В формуле (x) обозначает горизонтальную координату точки, (y) — вертикальную. Нижняя буква A или B указывает, к какой точке относится координата. Для вектора от A к B получаем:

[
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A).
]

Это правило позволяет найти и неизвестную точку:

Если известны начало и вектор, к каждой координате начала прибавляют соответствующую координату вектора — получают конец.
Если известны конец и вектор, из координат конца вычитают координаты вектора — получают начало.

Длина вектора

Длина вектора — расстояние от начала стрелки до конца по прямой. Ее также называют модулем. Для записи длины вектор заключают в вертикальные черты: (\lvert\vec a\rvert).

Чтобы найти длину, обе координаты возводят в квадрат, складывают результаты и извлекают неотрицательный квадратный корень. Если (x) — первая координата вектора, (y) — вторая, то

[
\lvert\vec a\rvert=\sqrt{x^2+y^2}.
]

Сумма квадратов координат дает квадрат длины — поэтому в конце нужен корень. Это следует из теоремы Пифагора: когда обе координаты ненулевые, горизонтальное и вертикальное перемещения образуют две стороны прямоугольного треугольника, а вектор лежит на стороне напротив прямого угла.

Формула работает и с нулевыми координатами. Отрицательные координаты тоже возводят в квадрат вместе со знаком: знак показывает направление перемещения, а длина не бывает отрицательной.

Сложение и вычитание векторов

Сложить векторы — значит найти общее перемещение после двух последовательных перемещений. Вторую стрелку можно перенести к концу первой, сохранив ее длину и направление. Сумма будет направлена от начала первой стрелки к концу второй.

По координатам достаточно сложить первые координаты двух векторов, а затем вторые.

При вычитании так же отдельно вычитают первые и вторые координаты. Разность можно понимать как сумму первого вектора и второго, направленного в обратную сторону.

Обозначим векторы (\vec a=(x;y)) и (\vec b=(u;v)). Буквы (x) и (u) — их первые координаты, (y) и (v) — вторые. Тогда

[
\vec a+\vec b=(x+u;\ y+v),
]

[
\vec a-\vec b=(x-u;\ y-v).
]

Получается новый вектор с двумя координатами. Если требуется его длина, ее находят следующим действием по этим координатам.

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число на это число умножают обе координаты. Так получают новый вектор.

Обозначим множитель буквой (k), а координаты исходного вектора — (x) и (y):

[
k\vec a=(k\cdot x;\ k\cdot y).
]

Положительный множитель сохраняет направление ненулевого вектора. Отрицательный разворачивает его в противоположную сторону. Длина умножается на модуль множителя — его неотрицательную величину. При умножении на ноль получается нулевой вектор.

В выражениях с несколькими действиями сначала выполняют действия в скобках, затем умножение, после него сложение и вычитание. Длину результата вычисляют, когда найдены обе его координаты.

Скалярное произведение

Скалярное произведение вычисляют так: перемножают первые координаты двух векторов, затем вторые и складывают два результата. Полученная сумма и называется скалярным произведением. Это число, а не вектор с двумя координатами.

Для векторов (\vec a=(x;y)) и (\vec b=(u;v)) первые координаты — (x) и (u), вторые — (y) и (v). Поэтому

[
\vec a\cdot\vec b=x\cdot u+y\cdot v.
]

Точка между векторами обозначает скалярное произведение. Точки между числами в правой части формулы — обычное умножение.

По скалярному произведению можно проверить, образуют ли векторы прямой угол, или найти угол, если известны длины. Само значение произведения зависит и от угла, и от длин векторов.

Если известны длины и угол между двумя ненулевыми векторами, применяется другая формула. Нужно перемножить обе длины и косинус угла между векторами.

[
\vec a\cdot\vec b=
\lvert\vec a\rvert\cdot\lvert\vec b\rvert\cdot\cos\varphi.
]

Обе формулы дают одно и то же скалярное произведение. Выбор зависит от того, какие данные известны: координаты или длины и угол.

Угол между векторами

Чтобы определить угол между двумя ненулевыми векторами, их переносят к общему началу, сохраняя длины и направления. Затем выбирают угол между стрелками в пределах от 0° до 180°.

У векторов, направленных в одну сторону, угол равен 0°, у направленных в противоположные стороны — 180°.

Когда известны координаты, сначала находят скалярное произведение и длину каждого вектора. Затем скалярное произведение делят на произведение длин. Получается косинус угла:

[
\cos\varphi=
\frac{\vec a\cdot\vec b}
{\lvert\vec a\rvert\cdot\lvert\vec b\rvert}.
]

Число под чертой дроби — результат умножения двух длин.

Если требуется косинус, вычисление на этом закончено. Если требуется угол, по значению косинуса находят соответствующую величину угла.

Косинус лежит от −1 до 1. Его знак помогает проверить результат:

Положительный соответствует углу меньше 90°.
Отрицательный — углу больше 90°.
Ноль — прямому углу.

У скалярного произведения тот же знак, поскольку длины ненулевых векторов положительны.

Перпендикулярные векторы

Перпендикулярные векторы образуют прямой угол.

Чтобы проверить это для двух ненулевых векторов, достаточно найти их скалярное произведение. Оно должно равняться нулю:

[
\vec a\cdot\vec b=0.
]

Это следует из формулы по длинам и углу: косинус прямого угла равен нулю.

Правило работает в обе стороны. Если известно, что векторы перпендикулярны, их произведение равно нулю. Если вычисление дало ноль и оба вектора ненулевые, они перпендикулярны.

Коллинеарные векторы

Коллинеарные ненулевые векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть направлены в одну сторону или в противоположные. Длины не обязательно равны.

По координатам коллинеарность означает следующее: обе координаты одного вектора можно получить из координат другого умножением на одно и то же число.

Недостаточно, чтобы совпало только одно из двух действий: один множитель должен подходить для обеих координат. При такой проверке не обязательно делить координаты друг на друга, поэтому нулевая координата не мешает.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, но угол с ним не определяют. Именно поэтому правила для угла и перпендикулярности выше относятся к ненулевым векторам.

Практика по заданию 2 ЕГЭ по профильной математике

В каждой задаче ответ — одно число.

Даны точки (A(-4;2)) и (B(3;-1)). Найдите первую координату вектора (\overrightarrow{AB}).
Даны векторы (\vec a=(1;3)) и (\vec b=(1;-2)). Найдите длину вектора (2\vec a+\vec b).
Найдите скалярное произведение векторов (\vec a=(-2;6)) и (\vec b=(5;1)).
Длины двух векторов равны 7 и 4, угол между ними — (60^\circ). Найдите скалярное произведение.
Найдите косинус угла между векторами (\vec a=(3;4)) и (\vec b=(0;5)).