03.11.26

Задание 7 ЕГЭ по профильной математике: теория, практика с ответами

С примерами и ответами

Обсудить

Задание 7 ЕГЭ по профильной математике: теория, практика с ответами — Фотография — Kateryna Hliznitsova / Unsplash

Алёна Хоперскова

разбиралась с заданием

Страница автора

В задании 7 профильного ЕГЭ по математике нужно решить уравнение и записать числовой ответ.

Для этого нужно выбрать преобразование, проверить найденные числа в исходном уравнении и выполнить требование условия — например, выбрать меньший корень. Разберем, как это делать для степеней, корней, логарифмов и других выражений, а затем потренируемся на смешанных задачах.

Задание 7 ЕГЭ по профильной математике

Формулировка задания

Решить уравнение — значит найти все значения неизвестной, при которых его левая и правая части равны. Каждое такое значение называют корнем уравнения.

В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 задание 7 начинается словами «Найдите корень уравнения». Нужен краткий ответ — целое число или конечная десятичная дробь.

В бланк ответов № 1 переносят само число, без x = и без решения. Если получили обыкновенную дробь с конечной десятичной записью, переведите ее в этот вид: например, 1/2 запишите как 0,5.

Задача № 7 оценивают максимум в 1 первичный балл.

Алгоритм решения задания

Один и тот же прием не подходит ко всем уравнениям. Но порядок работы можно сохранить.

Прочитайте, что требуется найти. Отметьте слова «меньший», «больший», «отрицательный», если они есть. Пока не выбирайте ответ: сначала нужно установить, какие значения действительно являются корнями.
Определите, где стоит неизвестная. В показателе степени, под квадратным корнем, в аргументе логарифма или в знаменателе? Этот признак подсказывает первое преобразование. Если признаков несколько, сначала выпишите ограничения всех исходных выражений.
Запишите область допустимых значений, или ОДЗ. Это значения, при которых можно вычислить выражения в обеих частях исходного уравнения. Знаменатель не должен быть нулем, подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным, аргумент логарифма — строго положительным. Основание логарифма должно быть положительным и отличным от 1.
Выберите преобразование и решите полученное уравнение. Степени удобно привести к одинаковому основанию, логарифм — заменить показательной записью, выделенный квадратный корень — убрать возведением в квадрат. У каждого перехода есть свои условия: их разберем в теории.
Проверьте найденные значения. Найденные после преобразований числа пока будем называть кандидатами. Подставьте их в исходное уравнение и исключите те, при которых выражение не определено или равенство неверно. Особенно нужна такая проверка после возведения в квадрат: оно может добавить посторонние значения.
Выполните отбор и запишите ответ. Сравнивайте только проверенные корни. Если просят отрицательный, убедитесь, что выбранное число меньше нуля; если меньший — что другого подходящего корня меньше него нет.

Преобразования, которые сохраняют все корни и не добавляют новых, называют равносильными. Например, прибавление одного и того же числа к обеим частям уравнения не меняет его корни. Возведение обеих частей в квадрат без дополнительных условий таким свойством не обладает: одинаковые квадраты могут получиться у противоположных чисел.

ОДЗ и подстановка решают разные задачи. ОДЗ отвечает на вопрос, можно ли вычислить исходные выражения. Подстановка проверяет, равны ли их значения. Допустимое значение еще не обязательно корень уравнения.

Типичные ошибки. В анализе ЕГЭ-2026 по математике ученики чаще всего допускали ошибки, общие для базового и профильного уровней:

Неправильно читали условие. В упражнениях перед решением отметьте слова «меньший», «больший», «отрицательный», если они есть. После проверки корней вернитесь к вопросу: найденный корень может подходить уравнению, но не требованию отбора.
Допускали арифметическую ошибку. ФИПИ особо выделяет вычисления с отрицательными числами. Записывайте отрицательные числа в скобках при возведении в квадрат и отдельно проверяйте знаки при раскрытии скобок, сложении и делении. Подставьте результат в исходное уравнение, чтобы проверить равенство.

Разбор примера задания

Условие. Возьмем второй образец № 7 из проекта демоверсии ФИПИ-2027 по профильной математике.

Найдите корень уравнения

√(99 − 7x) = 6

Решение. Неизвестная находится под квадратным корнем. Запись означает неотрицательное число, квадрат которого равен A. Поэтому, если квадратный корень равен 6, подкоренное выражение должно быть равно 6² = 36.

Сначала запишем область допустимых значений, чтобы подкоренное выражение не было отрицательным:

99 − 7x ≥ 0

Вычтем из обеих частей 99: −7х ≥ −99. При делении на отрицательное число −7 знак неравенства меняется, поэтому x ≤ 99 / 7.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат. Слева квадрат неотрицательного корня даст подкоренное выражение, справа получим 6²: 99 − 7x = 36. Вычтем 99 из обеих частей, затем разделим их на −7:

−7x = 36 − 99 = −63

x = −63 / −7 = 9

Число 9 входит в ОДЗ. Проверим его в исходном уравнении:

√99 − 7 · 9 = √36 = 6

Равенство верно, другого корня преобразования не дали, дополнительного отбора условие не требует.

Ответ: 9. Он совпадает с ключом на печатной странице 17 проекта демоверсии. В бланк записываем только 9.

Теория для задания 7 ЕГЭ по профильной математике

Ниже — восемь учебных групп для отработки основных приемов. Это не полный перечень содержания раздела «Уравнения и неравенства» в кодификаторе ФИПИ: например, тригонометрические уравнения здесь не разбираем.

Показательное уравнение

В показательном уравнении неизвестная входит в показатель степени. Например, в записи число 5 — основание, а выражение 2х − 1 — показатель. Если показатель равен 3, получаем 125:

5^2x−1

5³ = 5 · 5 · 5 = 125

Чтобы решить такое уравнение, часто достаточно записать обе части как степени одного числа. При одинаковом положительном основании, отличном от 1, равные степени имеют равные показатели. Например, из выражения ниже следует запись 2х − 1 = 3.

5^2x−1 = 5³

Правило действует и при основании больше 1, и при основании между 0 и 1. Условие «не равно 1» нужно потому, что любая степень единицы равна 1: по равенству таких степеней нельзя определить показатель. Сохраняются и ограничения самих выражений в показателях, если они есть.

Найдите корень уравнения

5^2x−1 = 125

Справа стоит 125 = 5³. Запишем обе части с основанием 5 и приравняем показатели:

5^2x−1 = 5³, 2x − 1 = 3

Прибавим 1 к обеим частям: 2х = 4. Разделим обе части на 2: х = 2.

Проверка:

5^2·2−1 = 5³ = 125

Ответ: 2.

При основании между 0 и 1 показатели приравнивают так же. Менять знак равенства, как знак некоторых неравенств, не нужно.

Показательное уравнение с разными основаниями

Если основания разные, приравнять показатели сразу нельзя: одинаковое число может получаться из разных степеней. Например, 9³ = 27² = 729, хотя показатели 3 и 2 различаются.

Сначала попробуйте представить оба основания как степени одного числа. 9 = 3² и 27 = 3³. Затем понадобится правило: при возведении степени в степень показатели перемножаются.

(3²)³ = 3^2·3 = 3⁶

В общей записи это правило выглядит так:

(a^m)ⁿ = a^mn, a > 0

Здесь a — основание, m — показатель внутренней степени, n — внешней. Если вместо показателя стоит выражение, перемножать нужно выражения целиком, сохраняя скобки.

Обратные числа тоже можно записать с одной основой.

1/5 = 5⁻¹

Отрицательная степень положительного числа означает обратную величину:

5⁻² = 1/5² = 1/25

По правилу степени в степени получаем

(1/5)^u = (5⁻¹)^u = 5^−u

где u — показатель. Если u = x + 2, минус относится ко всему выражению: − (x + 2) = −x − 2. В общем виде правило такое же:

(1/a)^u = a^−u

при a > 0 и определенном показателе u.

Найдите корень уравнения

9^x−1 = 27^x−2

Заменим 9 и 27 степенями тройки:

(3²)^x−1 = (3³)^x−2

Перемножим показатели. Слева получим 2(x − 1), справа — 3(x − 2):

3^2(x−1) = 3^3(x−2)

Теперь основания одинаковы, положительны и не равны 1. Приравняем показатели и раскроем скобки:

2(x − 1) = 3 (x − 2), 2x − 2 = 3x − 6

Вычтем 2x из обеих частей: −2 = x − 6. Прибавим к обеим частям 6: 4 = x, то есть x = 4. Проверка:

9⁴⁻¹ = 9³ = 729
27⁴⁻² = 27² = 729

Ответ: 4.

Этот прием удобен, когда общая основа видна из чисел. Произвольные разные основания не всегда удается привести к одной простой основе; другие приемы здесь не рассматриваем.

Иррациональное уравнение

В иррациональном уравнении неизвестная находится под знаком корня. Здесь рассматриваем квадратный корень: A — неотрицательное число, квадрат которого равен A. Например, 9 = 3, а не −3, хотя квадрат −3 тоже равен 9.

Если квадратный корень стоит отдельно в одной части уравнения, его можно убрать возведением обеих частей в квадрат. Но при этом теряется различие между противоположными числами: квадраты 3 и −3 одинаковы. Поэтому после квадрата могут появиться числа, которые не подходят исходному равенству.

Для уравнения √f(x) = g(x), где f(x) и g(x) — выражения с неизвестной, учитывайте два требования:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, иначе квадратный корень не определен в действительных числах.
Правая часть тоже должна быть неотрицательной, иначе она не может равняться значению квадратного корня.

Затем решите уравнение

f(x) = g(x)²

и проверьте найденные числа в исходной записи. Если внутри f(x) или g(x) есть знаменатели, логарифмы или другие корни, их ограничения тоже сохраняются.

Найдите корень уравнения

√(x + 6) = x

Для существования корня нужно x + 6 ≥ то есть x ≥ −6. Это ОДЗ. Кроме того, правая часть равна x, поэтому корнем может быть только неотрицательное число.

Возведем обе части в квадрат и перенесем все слагаемые в одну сторону: x + 6 = x², x² − x − 6 = 0.

Чтобы найти кандидатов, разложим левую часть на множители. Ищем два числа, которые в сумме дают −1 — коэффициент при x, а в произведении −6. Это −3 и 2:

x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому x − 3 = 0 или x + 2 = 0: кандидаты — 3 и −2.

Оба входят в ОДЗ, но −2 отрицательно и не может равняться квадратному корню. Подстановка показывает это прямо:

√(−2 + 6) = 2 ≠ −2

При x = 3 получаем √3 + 6 = √9 = 3, поэтому этот кандидат подходит.

Ответ: 3.

ОДЗ не заменяет проверку равенства: при −2 выражение слева вычисляется, но обе части не равны.

Логарифмическое уравнение

Логарифм — показатель степени, в которую нужно возвести одно число, чтобы получить другое.

log₃9 = 2
3² = 9

В записи ниже тройка — основание логарифма, девятка — его аргумент, двойка — значение логарифма.

log₃9

В рассматриваемых здесь логарифмических уравнениях неизвестная входит в выражение под знаком логарифма. Например, аргумент здесь — все выражение 2x + 1.

log₃(2x + 1)

Если логарифм равен известному числу, используйте определение: возведите основание в степень, равную этому числу. Результат должен равняться аргументу:

log_af(x) = b ⇔ f(x) = a^b

Здесь a — основание, f(x) — аргумент, b — значение логарифма. Основание должно быть положительным и отличным от 1, аргумент — строго положительным. Ноль в аргументе тоже запрещен.

Найдите корень уравнения

log₃(2x + 1) = 2

Основание 3 допустимо. Запишем ОДЗ: 2x + 1 > 0, откуда 2x > −1

x > −1/2

Логарифм равен 2: это означает, что аргумент равен квадрату тройки. Получаем

2x + 1 = 3² = 9

Вычтем 1 из обеих частей: 2x = 8. Разделим на 2: x = 4.

Проверка: 2 · 4 + 1 = 9 > 0, а

log₃9 = 2

Ответ: 4.

Положительным должен быть аргумент, а значение самого логарифма может быть отрицательным. Например, в практике ниже есть логарифм со значением −2: это показатель отрицательной степени, а не запрещенный аргумент.

Логарифм с выражением

Здесь разберем уравнение, в котором логарифмы с одним и тем же основанием стоят по обе стороны равенства. Равные значения логарифмов означают один и тот же показатель степени. Если в эту степень возводят одно и то же основание, получается одно и то же положительное число. Поэтому аргументы должны быть равны.

Правило можно записать так:

log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x)

при условиях a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0 и g(x) > 0. Здесь f(x) и g(x) — два аргумента. Равенство аргументов используем только там, где оба исходных логарифма определены.

В предыдущем блоке логарифм был равен числу: мы переходили к степени. Здесь приравниваем два аргумента. Если основания разные, просто приравнять аргументы нельзя.

Найдите корень уравнения

log₂(x² − 5) = log₂(2x − 2)

Основание 2 допустимо. Для аргументов нужны два ограничения:

x² − 5 > 0, 2x − 2 > 0.

Пока оставим их в таком виде: у каждого найденного кандидата проверим оба выражения. Приравняем аргументы и перенесем все в левую часть:

x² − 5 = 2x − 2, x² − 2x − 3 = 0

Ищем два числа с суммой −2 и произведением −3: это −3 и 1. Получаем

(x − 3)(x + 1) = 0.

Отсюда x − 3 = 0 или x + 1 = 0: кандидаты — 3 и −1.

При x = −1 оба аргумента равны −4. Они равны друг другу, но логарифмы не определены. Этого кандидата отбрасываем.

При x = 3 оба аргумента равны 4 и положительны. Исходное равенство превращается в

log₂4 = log₂4, то есть 2 = 2.

Ответ: 3.

Квадратное уравнение

В квадратном уравнении наибольшая степень неизвестной — вторая. После переноса всех слагаемых в одну сторону его записывают так:

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

Число a — коэффициент при x², b — коэффициент при x, а c — свободное слагаемое, без неизвестной. Знак числа входит в коэффициент: например, при −7x коэффициент b равен −7.

Если левую часть удается разложить на множители, используйте свойство нулевого произведения, как в двух предыдущих примерах. Если множители не видны, можно найти корни через дискриминант. Это вспомогательное число, которое вычисляют по коэффициентам:

D = b² − 4ac

Его знак показывает, сколько действительных корней у квадратного уравнения:

При D > 0 — два.
При D = 0 — один.
При D < 0 — ни одного.

Если D ≥ 0, корни находят по формуле

x = (−b ± √D) / 2a

Знак ± означает два расчета: в одном перед корнем ставят минус, в другом — плюс. При D = 0 результаты совпадут. В этой статье работаем только с действительными числами.

Найдите меньший корень уравнения

2x² − 7x + 3 = 0

Выпишем коэффициенты вместе со знаками: a = 2, b = −7, с = 3. Найдем дискриминант:

D = (−7)² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25

Он положителен: корней два. Квадратный корень из 25 равен 5, число −b = −(−7), а знаменатель 2a = 4. Подставим их в два расчета:

x₁ = (7 − 5) / 4 = 2 / 4 = 1 / 2
x₂ = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3

Проверим оба числа в исходном уравнении:

2 · (1 / 2)² − 7 · 1 / 2 + 3 = 1 / 2 − 7 / 2 + 3 = 0
2 · 3² − 7 · 3 + 3 = 18 − 21 + 3 = 0

Оба числа — корни, по условию нужен меньший.

1/2 = 0,5

Ответ: 0,5.

Если квадратное уравнение получилось после преобразования дроби, корня или логарифма, сначала проверьте его корни по исходным ограничениям и равенству. Только затем выбирайте меньший или больший.

Дробно-рациональное уравнение

В дробно-рациональном уравнении неизвестная стоит в знаменателе алгебраической дроби. Здесь рассматриваем дроби с многочленами в числителе и знаменателе — выражениями из чисел и целых неотрицательных степеней x. Например, в дроби

x² − 4 / x − 2

числитель равен x² — 4, знаменатель — x − 2.

Деление на ноль не определено. Поэтому до умножения и сокращений выпишите значения, при которых хотя бы один исходный знаменатель обращается в ноль. Эти значения запрещены

На оставшихся значениях можно умножить обе части уравнения на общий знаменатель — выражение, которое делится на каждый знаменатель. Так мы избавляемся от дробей. Умножение на одно и то же ненулевое выражение сохраняет равенство. Если после преобразований среди кандидатов оказалось запрещенное число, его нужно исключить.

Найдите корень уравнения

x² − 4 / x − 2 = 5

Знаменатель равен нулю при x = 2, поэтому ОДЗ: x ≠ 2. На остальных значениях умножим обе части на x − 2:

x² − 4 = 5(x − 2)

Раскроем скобки справа:

x² − 4 = 5x − 10

Вычтем 5x и прибавим 10 к обеим частям:

x² − 5x + 6 = 0

Два числа с суммой −5 и произведением 6 — это −2 и −3. Поэтому

(x − 2)(x − 3) = 0

Кандидаты — 2 и 3. Число 2 запрещено исходным знаменателем. Проверим 3:

(3² − 4) / (3 − 2) = 5 / 1 = 5

Ответ: 3.

Здесь есть и короткий путь. Числитель — разность квадратов:

x² − 4 = (x − 2)(x + 2)

При x ≠ 2 можно сократить одинаковый ненулевой множитель x − 2 в числителе и знаменателе. Получится x + 2 = 5, откуда x = 3. Условие x не равен 2 сохраняется, хотя знаменатель исчез из записи.

Уравнение с модулем

Модуль числа — его расстояние от нуля на числовой прямой. Поэтому |3| = 3 и |−3| = 3: оба числа находятся на расстоянии 3 от нуля. Модуль не бывает отрицательным. Для неотрицательного числа он равен самому числу, для отрицательного — противоположному.

Сначала выделите модуль в одной части уравнения. Если получилось |f(x)| = c, где f(x) — выражение с неизвестной, а с — число, дальнейший ход зависит от знака с:

Если с < 0, решений нет: расстояние не может быть отрицательным.
Если с = 0, решаем f(x) = 0.
Если с > 0, выражение внутри модуля может равняться с или −с. Поэтому решаем две ветви: f(x) = c и f(x) = −с.

В последнем случае речь о двух значениях выражения внутри модуля, а не обязательно о двух корнях по x. Число корней зависит от самого выражения; его область определения тоже сохраняется.

Найдите меньший корень уравнения

|2x − 3| = 7

Выражение 2x − 3 определено при любом x. Оно должно равняться 7 или −7, поэтому решим две ветви:

2x − 3 = 7 или 2x − 3 = −7

В первой прибавим 3: 2x = 10, откуда x = 5. Во второй тоже прибавим 3: 2x = −4, откуда x = −2.

Проверка: |2 ⋅ 5 − 3| = |7| = 7, а |2 ⋅ (−2) − 3| = |−7| = 7. Оба числа подходят. Меньшее из них — −2.

Ответ: −2.

Как быстро определить способ решения

Начинайте с того, как записано уравнение. Если заметили сразу несколько признаков, сначала соберите ограничения всех знаменателей, корней и логарифмов. Затем выбирайте преобразование, которое упрощает запись.

Название группы не всегда описывает все решение. Например, после преобразования логарифмов или дроби может получиться квадратное уравнение. Его корни остаются кандидатами, пока не проверены условия исходной записи.

Выбор первого действия по виду уравнения

Что видно в записи	Первое действие	Что проверить
Неизвестная в показателе, основания одинаковы	Приравнять показатели	Основание положительно и не равно 1; показатели определены
Неизвестная в показателях, основания разные	Если числа удается представить степенями одной основы, привести их к ней	При возведении степени в степень показатели перемножены
Неизвестная под квадратным корнем	Выделить корень и записать ограничения перед возведением в квадрат	Подкоренное выражение и правая часть неотрицательны; кандидаты решают исходное уравнение
Один логарифм равен числу	Перейти от логарифма к степени по определению	Основание допустимо, аргумент строго положителен
Логарифмы с одинаковым основанием по обе стороны	Приравнять аргументы на ОДЗ	Каждый исходный аргумент строго положителен
Квадратный многочлен	Перенести все в одну сторону; разложить на множители или найти дискриминант	Учтены все корни и выполнен отбор по условию
Неизвестная в знаменателе	Исключить нули знаменателей, затем избавиться от дробей	Исходные исключения сохранены после сокращений
Модуль	Выделить модуль и проверить знак правой части	При положительной правой части рассмотрены обе ветви

Что видно в записи	Первое действие	Что проверить
Неизвестная в показателе, основания одинаковы	Приравнять показатели	Основание положительно и не равно 1; показатели определены
Неизвестная в показателях, основания разные	Если числа удается представить степенями одной основы, привести их к ней	При возведении степени в степень показатели перемножены
Неизвестная под квадратным корнем	Выделить корень и записать ограничения перед возведением в квадрат	Подкоренное выражение и правая часть неотрицательны; кандидаты решают исходное уравнение
Один логарифм равен числу	Перейти от логарифма к степени по определению	Основание допустимо, аргумент строго положителен
Логарифмы с одинаковым основанием по обе стороны	Приравнять аргументы на ОДЗ	Каждый исходный аргумент строго положителен
Квадратный многочлен	Перенести все в одну сторону; разложить на множители или найти дискриминант	Учтены все корни и выполнен отбор по условию
Неизвестная в знаменателе	Исключить нули знаменателей, затем избавиться от дробей	Исходные исключения сохранены после сокращений
Модуль	Выделить модуль и проверить знак правой части	При положительной правой части рассмотрены обе ветви

Практика по заданию

Решите 16 задач без подсказки о типе уравнения. В каждой запишите ограничения, если они есть, найдите все кандидаты и выполните требование условия.

Найдите корень уравнения log₂(3x − 2) = 4.
Найдите меньший корень уравнения x² − 9x + 14 = 0.
Найдите корень уравнения 4^x+1 = 8^x−1.
Найдите корень уравнения (x² − 9) / (x − 3) = 8
Найдите отрицательный корень уравнения |2x + 1| = 9.
Найдите корень уравнения √(5x + 4) = 3.
Найдите корень уравнения 3^2x+1 = 81.
Найдите корень уравнения log₃(x² − 4) = log₃(x + 2).
Найдите корень уравнения √(2x + 3) = x.
Найдите корень уравнения (1 / 2)^x−2 = 8.
Найдите корень уравнения log₅(x² − 6) = log₅(4 − 3x).
Найдите больший корень уравнения |5 − 2x| + 1 = 8.
Найдите корень уравнения (x + 1) / (x − 2) = 2.
Найдите отрицательный корень уравнения 3x² + 6x = 0.
Найдите корень уравнения log_1/2(x + 1) = −2.
Найдите корень уравнения 25^x−1 = (1 / 5)^x+2

В задачах 4, 8 и 11 особенно проверьте ограничения, в задаче 9 — исходное равенство после квадрата.

Ответ: 6.
Аргумент должен быть положительным: 3x − 2 > 0, то есть x > 2 / 3.
По определению логарифма 3x − 2 = 2⁴ = 16. Проверка: 3 ⋅ 6 - 2 = 16 > 0, log₂16 = 4.
Ответ: 2.
Ищем два числа с суммой −9 и произведением 14: это −2 и −7. Поэтому (x − 2)(x − 7) = 0.
Один из множителей должен равняться нулю: корни −2 и 7 При каждом из них произведение равно нулю.
По условию нужен меньший корень − 2
Ответ: 5.
Представим основания как степени двойки: 4 = 2², 8 = 2³. Получим 2^2(x+1) = 2^3(x−1).
Приравняем показатели: 2x + 2 = 3x − 3. Вычтем 2x и прибавим 3: 5 = x.
Проверка: 4⁶ = (2²)⁶ = 2¹² и 8⁴ = (2³)⁴ = 2¹².
Ответ: 5.
ОДЗ: x ≠ 3. Умножим обе части на x − 3: x² − 9 = 8x − 24.
Перенесем все влево: x² − 8x + 15 = 0. Разложим на множители: (x − 3)(x − 5) = 0, кандидаты − 3 и 5
Число 3 запрещено. При x = 5 исходная дробь равна (25 − 9) / (5 − 3) = 16 / 2 = 8.
Ответ: −5.
Выражение внутри модуля равно 9 или −9: 2x + 1 = 9 либо 2x + 1 = −9.
Вычтем 1 и разделим на 2: получим x = 4 или x = −5.
Проверка: |2 ⋅ 4 + 1| = 9, |2 ⋅ (−5) + 1| = |−9| = 9. Из двух корней отрицательный − −5.
Ответ: 1.
Для существования корня нужно 5x + 4 ≥ 0, то есть x ≥ −4 / 5. Справа положительное число 3.
Возведем обе части в квадрат: 5x + 4 = 9. Вычтем 4: 5x = 5, откуда x = 1.
Проверка: √(5 ⋅ 1 + 4) = √9 = 3.
Ответ: 1,5.
Запишем 81 = 3⁴ и приравняем показатели: 2x + 1 = 4.
Вычтем 1: 2x = 3. Разделим на 2: x = 3 / 2 = 1,5.
Проверка: 3^{2 ⋅ 1,5 + 1} = 3⁴ = 81.
Ответ: 3.
ОДЗ задают два условия: x² − 4 > 0 и x + 2 > 0.
Приравняем аргументы: x² − 4 = x + 2, откуда x² − x − 6 = 0 и (x − 3)(x + 2) = 0. Кандидаты − 3 и −2.
При −2 оба аргумента равны нулю: логарифмы не определены. При 3 оба аргумента равны 5 и положительны, исходные логарифмы равны.
Ответ: 3.
ОДЗ: 2x + 3 ≥ 0, то есть x ≥ −1,5. Кроме того, правая часть x должна быть неотрицательной.
Возведем обе части в квадрат: 2x + 3 = x², откуда x² − 2x − 3 = 0 и (x − 3)(x + 1) = 0. Кандидаты − 3 и −1.
При −1 исходное равенство неверно: √1 = 1 ≠ −1. При 3 получаем √9 = 3.
Ответ: −1.
Запишем 8 как степень того же основания: 8 = (1 / 2)⁻³.
Приравняем показатели: x − 2 = −3, откуда x = −1.
Проверка: при x = −1 показатель равен −3, а (1 / 2)⁻³ = 2³ = 8.
Ответ: −5.
Нужны два положительных аргумента: x² − 6 > 0 и 4 − 3x > 0.
Приравняем их: x² − 6 = 4 − 3x, откуда x² + 3x − 10 = 0. Разложение (x + 5)(x − 2) = 0 дает кандидатов −5 и 2.
При 2 оба аргумента равны −2: число не подходит. При −5 оба аргумента равны 19 и положительны, поэтому логарифмы равны.
Ответ: 6.
Сначала вычтем 1: |5 − 2x| = 7. Значит, 5 − 2x = 7 или 5 − 2x = −7.
Из первой ветви −2x = 2, x = −1. Из второй −2x = −12, x = 6.
Проверка: при −1 слева |7| + 1 = 8, при 6 − |−7| + 1 = 8. Больший корень — 6.
Ответ: 5.
ОДЗ: x ≠ 2. Умножим обе части на x − 2: x + 1 = 2(x − 2) = 2x − 4.
Вычтем x и прибавим 4: 5 = x.
Проверка: (5 + 1) / (5 − 2) = 6 / 3 = 2.
Ответ: −2.
Вынесем общий множитель 3x за скобки: 3x(x + 2) = 0.
Чтобы произведение было нулевым, 3x = 0 или x + 2 = 0. Корни — 0 и −2: при каждом из них исходная левая часть равна нулю.
Требуется отрицательный корень, поэтому выбираем −2.
Ответ: 3.
Основание 1/2 положительно и не равно 1. ОДЗ: x + 1 > 0, то есть x > −1.
Перейдем к степени: x + 1 = (1 / 2)⁻² = 2² = 4. Вычтем 1: x = 3.
Проверка: аргумент равен 4, а log_1/24 = −2, поскольку (1 / 2)⁻² = 4.
Ответ: 0.
Приведем основания к 5: 25 = 5², 1 / 5 = 5⁻¹. Получим 5^2(x−1) = 5^−(x+2).
Приравняем показатели и раскроем скобки: 2x − 2 = −x − 2. Прибавим x и 2: 3x = 0, откуда x = 0.
Проверка: 25⁻¹ = 1 / 25 и (1 / 5)² = 1 / 25.