Задание 6 ЕГЭ по профильной математике: теория и практика

В проекте профильного ЕГЭ-2027 появилось новое задание 6 — о случайных величинах.

Разберемся, как найти средний выигрыш на билет и понять, насколько возможные выигрыши отличаются от него.

По проекту ЕГЭ-2027 в профильной математике появится новое задание 6 с кратким ответом — о случайной величине и ее характеристиках.

В проекте демоверсии требуется найти математическое ожидание выигрыша на один лотерейный билет. Это не полный обзор всех возможных задач — ниже мы разберем задачи, где можно перечислить все возможные выигрыши или числа на карточках.

Если вероятность события указана в условии, используйте её. Если даны количества предметов, вероятность можно вычислить: разделить число подходящих предметов на их общее число.

Вопрос определяет, что считать: например, среднюю выплату на билет или разброс выплат — насколько они отличаются от этой средней суммы.

За верное выполнение задания предусмотрен 1 первичный балл. Ответ записывают целым числом или конечной десятичной дробью, без единиц измерения. Округлять до сотых по умолчанию не нужно: следуйте условию конкретной задачи.

Способ расчета зависит от вопроса. Термины и действия разберем на карточках в разделе теории, а общий порядок работы такой:

1. Выпишите, какие результаты возможны и что требуется найти: математическое ожидание, дисперсию или стандартное отклонение
2. Запишите вероятности результатов. Если даны количества билетов или карточек, разделите число предметов с нужным результатом на общее. Это верно при равных шансах выбора.
3. Проверьте сумму вероятностей: она должна равняться 1. Если одна вероятность неизвестна, вычтите сумму остальных из 1.
4. Рассчитайте нужную характеристику по формуле из теории. Для дисперсии сначала найдите математическое ожидание, для стандартного отклонения — дисперсию.
5. Проверьте: ожидание — от наименьшего до наибольшего результата, дисперсия и стандартное отклонение — неотрицательны. Сохраняйте точные дроби до конца; в бланк запишите только число.

Возьмем задание 6 из проекта демонстрационного варианта профильного ЕГЭ-2027, опубликованного ФИПИ.

Представим, что перед нами все 10 000 билетов и по каждому выплатили положенный выигрыш. Чтобы узнать среднюю выплату на один билет, нужно сложить все выплаты и разделить их на 10 000. Этот способ подходит для выбора одного билета с одинаковым шансом из всего набора: каждый билет в нем учитывается один раз.

Сначала найдем, сколько билетов дают ненулевой выигрыш:

Остальные 10 000 − 661 = 9 339 билетов дают 0 рублей. Эти билеты не увеличивают сумму выплат, но входят в общее число билетов. Поэтому в конце будем делить на 10 000, а не на 661.

Теперь посчитаем выплаты по каждой группе:

• По 500 билетам выплатят 100 · 500 = 50 000 рублей.
• По 100 билетам — 1 000 · 100 = 100 000 рублей.
• По 50 билетам — 5 000 · 50 = 250 000 рублей.
• По 10 билетам — 10 000 · 10 = 100 000 рублей.
• По одному билету — 50 000 · 1 = 50 000 рублей.

Сложим эти суммы:

Это общая выплата по всему набору. Делим ее на число билетов:

Выигрыш на один случайно выбранный билет обозначают X, а его математическое ожидание — M(X). Мы нашли M(X) = 55 рублей.

Эти 55 рублей — средняя выплата на билет, а не прибыль покупателя: цена билета в условии не указана. Получить ровно 55 рублей по отдельному билету тоже нельзя: такого выигрыша в списке нет.

Ответ: 55.

Сначала разберем, как описывают случайную величину: какие числа она может принимать и каковы их вероятности. Затем — как найти по этим данным математическое ожидание, например среднюю выплату на билет, и оценить разброс выплат относительно этой суммы с помощью дисперсии и стандартного отклонения.

Случайная величина связывает результат случайного выбора с числом: выбранному билету соответствует выплата, выбранной карточке — написанное на ней число.

Случайную величину обычно обозначают X. В условии важно установить, что именно означает X и какие числа она может принимать. Это и есть ее возможные значения.

Распределение случайной величины показывает все возможные значения случайной величины вместе с их вероятностями. Одного списка чисел для расчетов недостаточно: нужно знать еще и шансы каждого числа.

При работе с распределением соедините каждое значение с его вероятностью. Вероятность должна лежать от 0 до 1, а вместе вероятности всех возможных значений должны давать 1.

Если в полной таблице пропущена одна вероятность, найдите ее: из 1 вычтите сумму остальных.

На каждое число приходится одна карточка из двух, поэтому его вероятность равна 1 / 2. Проверка: 0,5 + 0,5 = 1. Если вероятности даны в процентах, для вычислений переведите их в доли: например, 50% = 50 / 100 = 0,5.

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины с учетом вероятностей. Для лотереи это средняя выплата на один билет, для игры на очки — среднее число очков за попытку. Математическое ожидание X обозначают M(X).

Чтобы найти ожидание, умножьте каждое возможное значение на его вероятность и сложите произведения. Так в расчете учитывается шанс каждого результата: разные по вероятности результаты не получают одинаковый вес.

В этом примере умножить на 0,5 — то же, что взять половину числа. Поэтому среднее число очков можно представить так: сложить 0 и 4 и поровну распределить сумму между двумя равновероятными результатами. На каждый придется 4 / 2 = 2 очка.

Найденные 2 очка — среднее число очков за попытку, хотя в одной попытке нельзя получить ровно 2.

Делить сумму различных значений на их количество можно, только если эти значения равновероятны. Если шансы различаются, используйте правило с умножением на вероятности.

Если вместо вероятностей дано количество объектов. Когда каждый билет или каждая карточка выбирается с одинаковым шансом, вероятность нужного значения находят по количествам:

Для математического ожидания можно сразу сложить числа по всем объектам и разделить на общее число объектов. Повторяющееся число учитывают столько раз, сколько объектов с ним есть. При делении учитывают и объекты с нулевым числом или нулевой выплатой.

Для нуля подходят три карточки из четырех, поэтому его вероятность — 3 / 4 = 0,75. Для четверки подходит одна, ее вероятность — 1 / 4 = 0,25. Получаем:

Тот же расчет по всем четырем карточкам:

Ответ — 1. Карточки равновозможны, но числа 0 и 4 не равновероятны: карточек с нулем больше. Поэтому нельзя делить сумму 0 + 4 на 2 — так мы потеряли бы две нулевые карточки.

Дисперсия. Математическое ожидание не показывает, насколько результаты отличаются от него.

Дисперсия измеряет такой разброс. По определению это среднее квадратов отклонений от математического ожидания с учетом вероятностей.

Отклонение — разность «возможное значение минус ожидание». Если все результаты совпадают с ожиданием, отклонения равны нулю и дисперсия тоже равна нулю.

Дисперсию обозначают D(X). Для ее расчета выполните четыре шага:

1. Найдите математическое ожидание.
2. Из каждого возможного значения вычтите найденное ожидание.
3. Возведите каждую разность в квадрат.
4. Умножьте каждый квадрат на вероятность соответствующего значения и сложите произведения.

Найдем дисперсию числа очков X в игре, где за попытку дают 0 или 4 очка с равными вероятностями 0,5. Сначала найдем ожидание:

Затем вычтем 2 из каждого результата и возведем разности в квадрат.

Обычные отклонения −2 и 2 при усреднении с равными вероятностями погасили бы друг друга: (−2) · 0,5 + 2 · 0,5 = 0. Квадраты неотрицательны, поэтому при сложении не гасят друг друга. Для дисперсии усредняют именно квадраты отклонений, а не сами отклонения:

Ответ: 4. Это не расстояние в 4 очка: мы усредняли квадраты, поэтому дисперсия выражается в квадратных очках. Для дисперсии выплат единицей будут рубли в квадрате.

Стандартное отклонение. Стандартное, или среднее квадратическое, отклонение — квадратный корень из дисперсии. Оно описывает разброс в тех же единицах, что и исходная величина: например, в очках или рублях. Его обозначают σ(X), где σ — греческая буква «сигма».

Чтобы найти стандартное отклонение, сначала найдите дисперсию, затем извлеките из нее неотрицательный квадратный корень:

Например, дисперсия числа очков X равна 4 квадратным очкам. Найдем стандартное отклонение:

Стандартное отклонение не означает, что каждый результат обязательно отличается от математического ожидания ровно на эту величину. Оно также не задает максимально возможную разницу с ожиданием.

Ответ зависит от того, какую характеристику просят найти:

1. Математическое ожидание M(X) — например, среднее число очков за попытку или среднюю выплату на билет. Умножьте каждый результат на его вероятность и сложите произведения.
2. Дисперсию D(X) — число, описывающее разброс результатов. Найдите ожидание, вычтите его из каждого результата, возведите разности в квадрат. Каждый квадрат умножьте на соответствующую вероятность, затем сложите.
3. Стандартное, или среднее квадратическое, отклонение σ(X). Найдите дисперсию и извлеките из нее неотрицательный квадратный корень.

Если вместо вероятностей даны количества равновозможных объектов, можно считать прямо по ним. Для ожидания сложите числа по всем карточкам и разделите на число карточек.

Для дисперсии так же сложите квадраты отклонений от ожидания и разделите на число карточек. Каждая карточка, включая карточки с одинаковыми числами, учитывается один раз.

Нужно рассчитать характеристики по заданным вероятностям или по количеству билетов и карточек. Во всех пяти задачах ответ получается точным целым числом или конечной десятичной дробью, округление не требуется.

В задачах 1–3 потренируйтесь работать с вероятностями и ожиданием, в задачах 4–5 — с дисперсией и стандартным отклонением.

Задания:

1. Случайная величина X принимает значения 0, 2 и 4 с вероятностями 0,2; 0,5 и 0,3 соответственно. Найдите M(X).
2. Случайная величина X принимает только значения 1, 3 и 5. Их вероятности равны 0,25; p и 0,15 соответственно. Найдите p.
3. В мешке 10 одинаковых на ощупь жетонов: на пяти написано 0, на трех — 2, на двух — 6. Каждый жетон выбирается с одинаковой вероятностью. X — число на выбранном жетоне. Найдите M(X).
4. Из четырех одинаковых на ощупь карточек с числами 0, 2, 2 и 4 выбирают одну. Все карточки равновозможны. X — число на ней. Найдите D(X).
5. Случайная величина X принимает значения 0 и 10 с вероятностями 0,2 и 0,8. Найдите ее стандартное отклонение.